wpe7.jpg (2219 byte) Mandelbrot

E' nato a Varsavia nel 1924 ed ha studiato all'Ecole Politecniche di Parigi , al California Institute of Technology e all'Università di Parigi , dove si è laureato in matematica.

Nel 1958 ha iniziato la collaborazione con l'IBM, poi è stato professore di matematica alla Harvard University.

Tra i numerosi riconoscimenti che gli sono stati assegnati ,spicca la F.Barnard Medal della National Accademy of Sciences della Columbia University

La più completa esposizione della sua ricerca è racchiusa nel volume "The fractal geometry of nature"(S.Francisco 1982)

E' morto nell'ottobre del 2010.

Introduzione alla geometria dei frattali

Nel 1979 Benoit Mandelbrot descrisse in termini grafici forme e processi naturali, rappresentando oggetti dai contorni molto frastagliati e complessi , attraverso rigorosi metodi matematici.

Nasceva quella branca della Matematica che Mandelbrot  chiamò Geometria dei Frattali.

Essa è capace di rappresentare i profili di una montagna o di una costa, le nuvole , le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie.

La parola "frattale" definisce una rappresentazione grafica composta di linee spezzate (da latino "fractus") dall'andamento apparentemente irregolare ,che sono in sostanza delle strutture matematiche , capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli.

Inoltre i frattali hanno sempre una dimensione fratta , non intera.

Essi sono forme geometriche le cui parti , anche minime , contengono un'infinita ricchezza di dettagli.

Con i frattali si costruiscono modelli matematici semplici di oggetti complessi , come spugne ,fiocchi di neve , foreste.

Vi sono molti tipi di frattali , ma tutti hanno una cosa in comune : generano forme spaziali complesse da regole semplici.

Ogni dettaglio del frattale riproduce la forma del tutto (proprietà di autosomiglianza)

            wpe8.jpg (19939 byte)  wpe9.jpg (12869 byte)

                Insieme di Manderbrot          Insieme di Julia

Proprietà

Autosomiglianza : ogni dettaglio di un frattale riproduce la forma del tutto

Dimensione fratta:

utilizzando la formula per il calcolo della dimensione:

Dimensione secondo Hausdorff : D = log N/ log(1/r)

D = dimensione

N = numero di ricoprimenti

r = rapporto di similitudine

Perimetro tende all'infinito

L'area limitata

Per vedere l'animazione della costruzione della curva di Koch

attività di laboratorio : per lanciare il programma che disegna la curva di Koch Laboratorio

Vuoi lanciare il programma che costruisce la curva di Koch ?

 Clicca su frattali

Qui trovi il listato del programma

Programma in Turbo Pascal sulla costruzione della curva di Koch

Program frattali;

{$i graph.p}

var l,passo:integer;

procedure fioccodineve(l,passo:integer);

var i:integer;

procedure lato(l,passo:integer);

begin

if passo=0 then forwd(l)

else begin

passo:=passo-1;

l:=l div 3;

lato(l,passo);

turnleft(60);

lato(l,passo);

turnright(120);

lato(l,passo);

turnleft(60);

lato(l,passo);

end;

end;

begin

for i:=1 to 3 do

begin

lato(l,passo);

turnright(120);

end;

end;

begin

graphcolormode;

showturtle;

write('inserisci la lunghezza del lato ');

readln(l);

write('inserisci il passo');

readln(passo);

setposition(-50,-80);

fioccodineve(l,passo);

hideturtle;

end.

Se vuoi lanciare altri programmi sui frattali ( programma Arnia) clicca su

Se vuoi lanciare altri programmi sui frattali ( programma Soffione) clicca su

 

 

 

wpe5.jpg (5997 byte) Georg Cantor

Georg Cantor nacque il 3 marzo 1845 a Pietroburgo (odierna SanPietroburgo)

Il padre era un commerciante di successo e un luterano convinto che inculcò nel figlio profonde convinzioni religiose.

Quando Georg era ancora bambino ,la famiglia si trasferì dalla Russia in Germania e fu lì che cominciò a studiare matematica.

Nel 1868 ricevette il dottorato presso l'Università di Berlino con una dissertazione sulla teoria dei numeri.

Nel 1872 Cantor puntò la sua attenzione sulla relazione tra punti della retta e numeri reali

Nel 1874 mise a punto la teoria degli insiemi infiniti superando il paradosso di Galileo per cui vi sono tanti numeri pari quanti numeri pari e dispari insieme, perchè si possono mettere in corrispondenza biunivoca l'insieme dei numeri pari con N (insieme dei numeri naturali)

2 n ---> n

Cantor superò tale paradosso trasformandolo nel mezzo per definire le dimensioni degli insiemi infiniti (vedi insieme dei numeri naturali ) introducendo il concetto di equipotenza e di numerabilità :

L'insieme dei numeri naturali N

L'insieme dei numeri naturali rappresenta il primo esempio di insieme numerico infinito.

Due insiemi S e T si dicono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca di S su T

(ad ogni elemento di S corrisponde uno ed un solo elemento di T)

Un insieme si dice numerabile se è equipotente ad N

N è un insieme numerabile

Si dice anche che un insieme numerabile ha la potenza del numerabile (aleph-zero):| S | = | N |wpe6.jpg (8377 byte)

N ha potenza aleph-zero

L'insieme dei numeri pari rappresenta un insieme numerabile:

2n--> n

L'insieme dei numeri dispari rappresenta un insieme numerabile:

2n+1--> n

L'insieme dei quadrati dei numeri interi rappresenta un insieme numerabile:

n2--->n

Dimostrò inoltre che l'insieme dei numeri razionali è numerabile

 

Insieme dei numeri razionali

Un numero razionale è un numero che può essere messo nella forma fratta a/b con a e b elementi di N

Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri razionali è numerabile mediante il procedimento di   diagonalizzazione : sopra ogni  numero razionale è segnato il relativo numero naturale associato        

 Animazione della diagonalizzazione

 

1                        2                     6                        7            15         16

1/1          1/2           1/3            1/4      1/5 .........

3                        5                    8               14               17

2/1          2/2         2/3       2/4        2/5

4                       9                  13              18

3/1          3/2         3/3       3/4        3/5

10                      12                19

4/1          4/2          4/3      4/4        4/5

11                           20

mentre quello dei reali non lo è:

Insieme dei numeri reali

L'insieme dei numeri reali è un insieme infinito che contiene sia l'insieme dei razionali sia l'insieme degli irrazionali.

Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri reali non è numerabile e chiamò potenza del continuo c la dimensione di tale insieme (aleph-uno): | R | = c

Inoltre ipotizzò che non esiste nessun insieme infinito che abbia potenza alfa tale che

aleph-zero< alfa<aleph-uno

ossia una potenza compresa tra quella del numerabile e quella del continuo.

Questa ipotesi detta ipotesi del continuo

Un altro grande matematico ,Godel, riconobbe che tale ipotesi non è in contraddizione con gli altri assiomi della teoria degli insiemi infiniti.

Nel 1963 Cohen ha dimostrato che si possono costruire delle teorie coerenti sia accettando l'ipotesi del continuo sia negandola.

L'ipotesi del continuo esplica in algebra la stessa funzione del 5° postulato di Euclide in geometria

 

wpe4.jpg (1784 byte) Galois

Evariste Galois (1812-1832)

Galois era nato nel villaggio di Bourg-la-Reine alle porte di Parigi ,dove suo padre era sindaco.

I suoi genitori non avevano nessuna propensione per la matematica , ma Evaristo dimostrò presto di essere un genio matematico , anche se eccentrico

A 16 anni sperava di essere ammesso all'Ecole Polytecnique , ma a causa della sua preparazione non sistematica , venne respinto.

A 17 anni Galois presentò a Cauchy una sua memoria su alcuni argomenti fondamentali di matematica , ma Cauchy smarrì il suo scritto.

Finalmente anni dopo Galois riuscì ad entrare all'Ecole Normale e si dedicò all'insegnamento.

Nel 1830 presentò una sua memoria per il premio di matematica bandito dall'Accademie Fourier si portò a casa il lavoro di Galois ma morì poco dopo ed il lavoro andò smarrito.

Una terza volta Galois cercò di presentare una memoria all'Accademie , tramite Poisson , che trovò il lavoro incomprensibile .

Poco tempo dopo si trovò coinvolto in un duello e la notte precedente , presagendo una fine tragica,scrisse ad un amico una lettera in cui annotò appunti di matematica sperando che venissero pubblicati sia pure postumi .

Morì a causa delle ferite riportate nel duello : aveva appena 20 anni.

Galois si interessò a molti problemi di algebra e soprattutto alle strutture algebriche , specie al concetto di gruppo.

 

wpe3.jpg (11076 byte) Lobacevskij(1793-1856)

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij , grande matematico russo , figlio di un funzionario governativo, fu mandato a studiare nell'Università di Kazan .

A 21 anni era già membro del corpo insegnante , nel 1827 fu nominato Rettore dell'Università di Kazan dove svolse per tutta la sua vita attività didattica e di ricerca.

Negli anni dal 1826 al 1829 si convince che il 5° postulato di Euclide non può essere dimostrato sulla base degli altri 4 ed in un articolo del 1829 arriva a formulare una nuova geometria non euclidea partendo dalla negazione del 5° postulato ossia accettando come postulato che per un punto che non giace su di una retta AB vi passa più di una retta parallela ad AB : da questo postulato costruisce tutta la geometria non euclidea che risulta coerente e non contraddittoria .

E' una geometria così sconvolgente che lo stesso Lobacevskij la chiamò geometria immaginaria e poi pangeometria universale .

Nei suoi "Studi geometrici sulla Teoria delle Parallele" pone le basi della sua geometria non euclidea: nella proposizione 16 dice:

Relativamente ad una data retta di un piano , tutte le rette tracciate da un medesimo punto si possono distribuire in due classi, cioè: in rette che tagliano la retta data e in rette che non la tagliano .La retta che forma il limite comune di queste due classi è detta parallela alla retta data .

Sia abbassata dal punto A sulla retta BC la perpendicolare AE alla retta AD . Nell'angolo retto EAD tutte le rette che partono dal punto A incontreranno la retta DC ,come AF , oppure alcune di esse ,come AE , non incontreranno DC.Poiché la situazione non è chiara ,allora diciamo che ,se la perpendicolare AE è la sola retta che non incontra DC , noi ammettiamo la possibilità che esistano anche altre linee come AG che non tagliano DC , per quanto le si voglia prolungare .Passando dalle linee come AF,che tagliano DC , alle linee come AG che non tagliano DC , si troverà necessariamente una linea AH che è parallela a DC: cioè una linea dal lato della quale le linee AG non incontreranno DC.

L'angolo HAD è detto angolo di parallelismo P(p) dove p=AD

Se P(p)=90° tutte le rette ad eccezione di EE'(unica parallela a CB) dovranno tagliare CB.

Se P(p)<90° allora dall'altro lato di AD , si avrà un'altra retta AK che forma con AD lo stesso angolo DAR = P(p) la quale sarà parallela al prolungamento DB della linea DC .

Tutte le altre rette comprese all'interno dei due angoli retti diretti verso BC,appartengono alle rette secanti quando esse siano situate nell'angolo HAK = 2P(p) delle due parallele : al contrario appartengono alle rette non secanti come AG quando siano situate dall'altro lato delle parallele AH ,AK ,all'interno dei due angoli EAH=90°-P(p) , EAK=90°-P(p)

fra le parallele e la retta EE'. Dall'altro lato della perpendicolare EE', i prolungamenti AH' e AK' delle parallele AH e AK saranno ugualmente parallele a BC.Fra le altre rette quelle che sono nell'angolo K'AH 'apparterranno alle rette secanti , quelle che sono negli angoli K'AE, H'AE'alle rette non secanti.

Pertanto ,se si suppone P(p)=90°, ,le rette non potranno essere che secanti o parallele .Ma se si ammette che P(p)<90° allora si dovranno considerare due parallele, una in un verso , l'altra nel serso opposto:in più le altre rette dovranno essere distinte in non secanti e secanti. In tutte e due l'ipotesi , il carattere del parallelismo è che la linea diventa secante con la minima deviazione verso il lato dov'è situata la parallela; di modo che ,se AH è parallela a DC ogni linea AF che ,dal lato di DC,fa con AH un angolo HAF piccolo quanto si vuole , taglierà necessariamente DC.

Una conseguenza di tale impostazione è la proposizione 19:

In ogni triangolo rettilineo la somma dei tre angoli non può superare due angoli retti .

wpeB.jpg (12265 byte) Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Matematico tedesco , fu un bambino prodigio.

Suo padre era operaio e cercò di impedire al figlio di studiare , ma la madre lo incoraggiò sempre e fu molto orgogliosa dei suoi successi . Da fanciullo Gauss frequentò la scuola locale , dove l'insegnante aveva fama di essere molto esigente : un giorno per tenere occupati gli alunni assegnò loro l'esercizio di sommare tutti numeri da 1 a 100 , chiedendo a ciascuno di deporre la lavagnetta sulla cattedra appena finito il calcolo ; quasi immediatamente Carl depose la lavagnetta su cui aveva scritto solo il risultato corretto 5050 : il ragazzo (10 anni ) aveva utilizzato la formula n(n+1)/2 per il calcolo .

A 15 anni si iscrisse all'Università di Gottinga , in quell'epoca aveva già sviluppato i fondamenti del metodo dei minimi quadrati ( 10 anni prima che Lagrange pubblicasse il suo)

Da oltre 2000 anni si sapeva come costruire con riga e compasso poligoni regolari con 3 e 5 lati , ma non con altri numeri primi,Gauss costruì con riga e compasso il poligono regolare con 17 lati.Era il 30 marzo 1796 e da quel giorno Gauss annotò in un diario ogni scoperta .

Il 10 luglio scoprì che ogni numero intero è la somma di non più di 3 numeri triangolari e lo annotò sul diario .

Questo diario di sole 19 pagine rappresenta un prezioso documento per la storia della matematica : vi sono appuntati 146 risultati brevemente formulati e questo permette di assegnare a Gauss la paternità di molti risultati rivendicati da altri matematici , inoltre era riluttante a pubblicare i suoi lavori, quindi il diario è l'unica fonte.

Solo nel 1901 il diario fu pubblicato da Klein per il 150 ° anniversario della Fondazione della Società Scientifica di Gottinga.

Gauss voleva che sulla sua tomba vi fosse disegnato il poligono regolare di 17 lati, ma lo scalpellino pensava che un poligono simile si sarebbe confuso con un cerchio e non assecondò il desiderio del matematico .

Gauss è il padre della rappresentazione geometrica dei numeri complessi

e dell'algebra delle congruenze . Introdusse per primo il simbolo della congruenza

Si interessò anche di astronomia e fu in grado di calcolare l'orbita dell'asteroide Cerere che ricomparve nel cielo proprio dove Gauss aveva ipotizzato.Ricoprì per 40 anni la carica di direttore dell'Osservatorio Astronomico di Gottinga,preferendola a quella di professore di matematica all 'Università di Gottinga perchè pare che non amasse insegnare , ma solo seguire pochi brillanti e devoti studenti.

 

  David Hilbert (1862-1943 )

Tedesco, famoso professore di Gottinga , nel 1900 presentò una relazione in cui propose 23 problemi che avrebbero impegnato i più grandi matematici del XX secolo.

I primi due problemi riguardavano la teoria degli insiemi infiniti :

1) Esiste un numero transfinito compreso tra la potenza del numerabile e quella del continuo ?

2) L'insieme R dei numeri reali è ben ordinato ?

( ossia ogni sottoinsieme di R possiede un primo elemento?)

Cantor , Godel provarono a dare delle risposte :

Cantor ipotizzò che non esiste un numero compreso tra la potenza del numerabile e quella del continuo mentre Godel dimostrò che si può accettare o negare quest'ipotesi senza alterare la coerenza degli assiomi della teoria degli insiemi infiniti

Inoltre Hilbert si interessò anche di geometria:

Egli è il padre della geometria assiomatica.

Per costruire tale geometria parte da 3 oggetti indefiniti: punto , linea , piano,6 relazioni indefinite : essere su essere in , trovarsi tra , essere congruente con , essere parallelo a , ed essere continuo.

Al posto degli assiomi e dei 5 postulati di Euclide , egli formulò 21 assunzioni, noti come assiomi di Hilbert.

Di questi 8 riguardano la relazione di incidenza e comprendono il 1° postulato di Euclide ,4 contengono le proprietà di ordinamento,5vertono sulla congruenza,3 riguardano la continuità ed un assioma coincide con il 5° postulato di Euclide.

Hilbert si interessò anche alla matematica pura : studiò una curva ottenuta partenda da un quadrato e suddividendolo in 4 quadrati più piccoli , e ognuno di questi in 4 ancora più piccoli ecc.. , e congiungendo il centro del primo quadrato in basso a sinistra con tutti gli altri centri per arrivare a quello in basso a destra , senza intersezioni e senza ripassare due volte per la stessa strada.

             wpe25.jpg (9091 byte)

Continuando all'infinito tale processo la curva passerà per tutti i punti del quadrato di partenza.Tale curva riempie il piano!!

Un'altra curva interessante è quella studiata da Helge von Koch(1870-1924) , detta curva di Koch(vedi Frattali ) attività di laboratorio : per lanciare il programma che disegna la curva di Koch

wpe26.jpg (9476 byte) Kurt Gödel ( 1906- 1978 )

Matematico austriaco , emigrato negli Stati Uniti e divenuto membro dell'Institute for Advanced Studies di Princeton .

Nel 1931 dimostrò che all'interno di un sistema rigidamente logico è possibile formulare proposizioni che sono indecidibili o indimostrabili nell'ambito degli assiomi del sistema.

Ossia esistono all'interno del sistema asserzioni che non possono essere né dimostrate né invalidate(teorema di incompletezza)

Tale teorema di Godel porta alla considerazione che è impossibile arrivare alla certezza matematica ,ossia alla completa formalizzazione delle teorie matematiche.

Con tale teorema Godel dimostrò che l'ipotesi di Cantor poteva essere accettata ma anche negata per creare diverse teorie degli insiemi infiniti

 

wpe1E.jpg (2260 byte)   Giuseppe Peano(1858-1932)

Il nome di Peano è legato ai cosiddetti "assiomi di Peano" ossia al tentativo di creare un linguaggio formale per tutta la matematica

Il simbolismo ( per i concetti di appartenenza , unione, intersezione ecc..) viene da Peano utilizzato felicemente per la sua aritmetica basata su tre concetti primitivi : zero,numero,successivo di un numero.

5 sono i postulati di questa aritmetica:

1) Zero è un numero

2) Se a è un numero , il successivo di a è un numero

3) Zero non è il successivo di nessun numero

4) Se a=b il succ(a) = succ(b)

5) Se S è un insieme che contiene zero ed il successivo di ogni numero contenuto in S , allora S contiene ogni numero

Lultimo postulato è il principio di induzione

Questo metodo assiomatico raggiunge un alto grado di precisione , senza ambiguità.

Peano dedicò molti sforzi anche allo sviluppo della logica simbolica.

 

wpe1D.jpg (11039 byte) Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Matematico francese.

Nato a Parigi poche settimane dopo la presa della Bastiglia,era stato educato all'Ecole Polytechnique dove Lagrange e Laplace si erano interessati ai sui studi

Fu professore all'Ecole Polytechnique,cattolico devoto e reazionario convinto.Quando il re Carlo X andò in esilio , anche Cauchy lasciò Parigi per farvi ritorno solo nel 1838.

Cauchy produsse una tale messe di libri e memorie da emulare Eulero.

Pubblicava subito qualsiasi risultato non appena l'aveva raggiunto:la teoriadei determinanti , quella delle funzioni di una variabile complessa, il calcolo infinitesimale , la derivata di una funzione come limite del rapporto incrementale (chiamava i l'incremento della X ),la continuità di una funzione ,il concetto di integrale definito usando una formulazione uguale a quella moderna

 

 

wpe1C.jpg (12864 byte) George Boole (1815-1864)

Matematico irlandese, nato a Lincoln da povera famiglia , frequentò solo le scuole elementari , ma studiò da autodidatta il latino ed il greco .

Divenuto maestro elementare, sentì che doveva ampliare le sue conoscenze matematiche. Nel 1847 Boole pubblicò un libro intitolato " L'analisi matematica della logica" , di importanza capitale per lo sviluppo del pensiero logico-matematico.

Boole sviluppò la concezione che la matematica non doveva essere considerata una scienza limitata ai numeri ed alle grandezze e che una trattazione assiomatica che utilizzasse simboli , regole e leggi e che fosse coerente , doveva fare parte della matematica e ciò era la logica formale dell 'algebra di Boole.

Boole morì nel 1864 ma prima della sua morte ricevette riconoscimenti ufficiali per i suoi meriti di matematico , compreso un titolo onorario da parte dellUniversità di Dublino

 

wpe1B.jpg (5398 byte) Lagrange(1736-1813)

Contemporaneo di Eulero ,ma più giovane di lui,Joseph Louis Lagrange fu italiano di nascita , francese di discendenza , tedesco di adozione , parigino per scelta.

Il padre fu tesoriero di guerra del regno sabaudo , ebbe 11 figli , ma Joseph fu l'unico a distinguersi.

Appena 19 enne fu chiamato all'Accademia delle Scienze di Berlino

Fu il primo a formulare un metodo di calcolo per le derivate , usando per primo il simbolo f ' (x) . Contribuì allo studio della teoria dei numeri con il teorema per cui :

ogni intero positivo è la somma di non più di 4 quadrati perfetti

(Teorema di Lagrange dei 4 quadrati)

 

wpe5.jpg (6141 byte) Eulero (1707-1783)

Leonhard Euler , Eulero, nacque a Basilea.Il padre era un pastore protestante e sperava che il figlio abbracciasse la carriera ecclesiastica, ma il giovane Eulero ,studiando sotto la guida di Bernoulli ,appartenente ad una grande famiglia di matematici svizzeri, scoprì la propria vocazione .

Ebbe comunque un'educazione di vasto respiro, studiando matematica, fisica,medicina,teologia e lingue orientali.

Caterina I di Russia aveva istituito l'Accademia ed Eulero venne chiamato a ricoprire il ruolo di membro della sezione di medicina , ma proprio il giorno del suo arrivo ,Caterina morì.

All'età di 26 anni Eulero si trovò ad essere il matematico più importante dell'Accademia in Russia , dopo la partenza di Daniel Bernoulli,grande matematico , per Basilea.

Sposatosi ,si dedicò alla ricerca matematica e ad allevare i suoi 13 figli.

Fu molto prolifico anche per quanto riguarda la sua produzione di scritti e studi matematici , riusciva a scrivere le sue memorie matematiche anche mentre giocava con i suoi bambini.

Eulero è stato il primo ad utilizzare i simboli e ,p, ed i , come radice quadrata di -1 , anche se all'inizio Eulero aveva adoperato i per rappresentare un numero infinito ossia ex=(1+x/i)i al posto di ex=lim (1+x/h)h per h tendente all'infinito.

L'equazione di Eulero epi +1 = 0 contiene i cinque simboli più significativi della matematica.

Oggi usiamo i simboli introdotti da Eulero : a,b,c per i lati di un triangolo , A,B,C per gli angoli opposti , lx per ln x , il simbolo di sommatoria ,la notazione f(x) per la funzione di x.

Se gli Elementi di Euclide rappresentano la pietra miliare della geometria,

Al jabr wal maqabalah pone i fondamenti dell'algebra, l'Introductio in

analysin infinitorum di Eulero è la chiave di volta dell'analisi .

Eulero fu il primo a considerare i logaritmi come esponenti , in maniera moderna.Sua è la formula eix= cos x + i sen x

wpe3.jpg (1313 byte)   Isaac Newton (1642-1727)

Nacque nel 1642 a Woolstharpe nel Linconlshire;nel1661 entrò nel TRINITY COLLEGE di Cambridge,qui elaborò il"calcolo delle flussioni",cioè il calcolo infinitesimale.Nel 1665-1666 tornò a Woolsthorpe,a causa della peste,e qui ebbe per la prima volta l'idea della gravitazione universale e si dice che questa idea gli venne meditando sulla caduta di una mela da un albero sotto cui stava riposando.Subito dopo,abbandonata questa idea,approfondì gli studi di otticae costruì un telescopio a riflessione.Intanto venne a conoscenza delle esatte misure riguardo le dimensioni della terra,calcolate nel 1671 da Jean Picard e pubblicò nel 1687 i PHILOSOPHIA NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA

wpe4.jpg (33221 byte)dedicati alla Royal Society,di cui fu eletto presidente nel 1703.In quest'opera egli espose la sua teoria sulla gravitazione universale:immaginò che fra i corpi si esercitassero forze attrattive che dipendevano solo dalla quantità di materia di cui i corpi erano costituiti e dalla loro distanza.Queste forze modificavano lo stato di moto e di quiete dei corpi,sottoponendoli ad una accelerazione proporzionale alla loro intesità .Newton riuscì a riassumere tali idee formulando la legge di gravitazione universale e i principi della dinamica.

Con la legge di gravitazione universale egli spiegò perchè i pianeti si muovono su un'orbita ellittica.

F=G* m1*m2/r2

G=costante di gravitazione gravitazionale.

FRA DUE CORPI AGISCE UNA FORZA DI ATTRAZIONE F CHE E' DIRETTAMENTE PROPORZIONALE AL PRODOTTO DELLE MASSE m1*m2 E INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA LORO DISTANZA r.

Newton morì il 20 marzo del 1727 e fu sepolto nell'abbazia di Westminster.

Per quanto riguarda la diatriba con Leibniz sulla paternità del calcolo infinitesimale possiamo dire che Newton nella prima stesura dei Principia ammise che Leibniz possedeva un metodo simile , ma nella terza edizione Newton eliminò il riferimento a Leibniz.

Oggi è chiaro che la scoperta di Newton precedette quella di Leibniz di circa 10 anni ma che d'altra parte la scoperta di Leibniz fu fatta indipendentemente da quella di Newton : inoltre a Leibniz va riconosciuta la priorità di pubblicazione

wpeA.jpg (4169 byte) Gottfrie Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Leibniz era nato a Lipsia dove a quindici anni entrò all'Università e a diciassette conseguì il grado di baccelliere. All'Università fece studi di teologia , legge,filosofia e matematica .Entrò in diplomazia e fu presso gli Hannover per 40 anni.Viaggiò molto , nel 1672 a Parigi incontrò Huygens che gli suggerì di leggere Pascal per diventare un matematico.In una prima visita a Londra nel 1673 fu eletto membro della Royal Society e forse vide il manoscritto " De analisi "di Newton .

Huygens aveva proposto a Leibniz di trovare la somma dei reciproci dei numeri triangolari ossia 2/n(n+1)

wpeB.jpg (43128 byte)

Numeri triangolari :

1    3    6     10    15...

I reciproci :

1    1/3    1/6     1/10     1/15 ....

ossia 2/n(n+1) ma anche

2(1/n - 1/(n+1)) e la somma dei primi n numeri è

Sn= 2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...-1/n+1/n-1/(n+1))=

= 2(1-1/(n+1)) che tende a 2

Leibniz trovò che la serie convergeva a 2 .

attività di laboratorio:per lanciare il programma che calcola i numeri triangolari Laboratorio

Questi programmi calcolano i numeri triangolari , i loro reciproci , le somme n-sime dei reciproci dei numeri triangolari , e dimostrano che la relativa serie tende a 2

program ntriang;

var n,i,k:integer;

s:real;

begin

writeln('quanti numeri triangolari vuoi?');

readln(n);

for k:=1 to n do

begin

s:=0;

for i:=1 to k do

s:=s+i;

write(s:8:0);

end;

end.

attività di laboratorio:per lanciare il programma che calcola i  reciproci dei numeri triangolari e la loro somma

program recntria;

var n,i,k:integer;

s,sn:real;

risposta:char;

begin

writeln('quanti reciproci di n. triangolari vuoi?');

readln(n);

sn:=0;

for k:=1 to n do

begin

s:=0;

for i:=1 to k do

s:=s+i;

write('1/',s:1:0,' ');

sn:=sn+1/s;

end;

writeln('vuoi la somma dei primi ',n,'?');

readln(risposta);

if risposta='s' then writeln(sn:8:6);

end.

Studiò il  triangolo di Pascal ed il triangolo armonico trovando analogie e proprietà(vedi Pascal).Intuì che la tangente ad una curva dipende dal rapporto delle ordinate e delle ascisse quando queste diventano piccolissime.

Nel 1676 Leibniz arriva alle stesse conclusioni a cui era arrivato Newton parecchi anni prima .E il primo però ad adoperare i simboli dx,dy e il simbolo per l'integrale di una funzione

Pubblicò nel 1684 l'esposizione del calcolo differenziale .

Fu il primo matematico ad adoperare il punto per la moltiplicazione,= per l'uguaglianza ,i simboli moderni per la similitudine e per la congruenza, ed il concetto di funzione nel senso moderno del termine.

wpe3.jpg (8298 byte) Blaise Pascal (1623-1662)

Blaise Pascal fu un prodigio matematico.Il padre Etienne tenne il giovane lontano dai libri di matematica per incoraggiarlo ad avere altri interessi , ma quando il ragazzo all'età di 12 anni dimostrò un talento eccezionale il padre assecondò la sua inclinazioneA 18 anni Blaise costruì una macchina calcolatrice  e ne vendette una cinquantina.

                               wpe4.jpg (14990 byte)

La piccola Pascaline può essere considerata la prima macchina calcolatrice , la modesta ma funzionale e ingegnosissima antesignana delle moderne calcolatrici e calcolatori : per ogni 10 giri della prima rotella si ha 1 giro della seconda ; ogni 10 giri della seconda si ha 1 giro della terza e così di seguito

Più tardi si interessò a problemi di idrostatica.

Nel 1654 rivolse di nuovo il suo interesse alla matematica e scrisse " l'Opera completa sulle coniche ", utilizzando però ancora la notazione sintetica e non quella simbolica .

Costruì il triangolo, detto poi di Pascal , noto già 600 anni prima, ma ne rivelò nuove proprietà , usando il  metodo di induzione matematica

1    1    1     1    1    1    1 ....

1    2    3     4    5    6 ....

1    3    6    10   15....

1    4   10  20 ....

1    5  15 ....

1    6  ....

1

Metodo di induzione matematica

Detta P(n) una proprietà che vale per i numeri naturali

Se P(n) è vera per n=0 e

se P(n) vera implica che è vera P(n+1) ciò implica che

P(n) è vera per ogni n

Attività di laboratorio: per lanciare il programma che costruisce il triangolo di Pascal Laboratorio

Questi sono i listati di due programmi in Turbo Pascal per la costruzione del triangolo di Pascal

Questo programma calcola i numeri del triangolo di Pascal utilizzando la proprietà per cui ogni numero a(i,j) è la somma dei primi j termini della riga i-1

program triangolo;

type mat=array[1..10,1..10] of real;

var a:mat;

k, n,i,j:integer;

s:real;

begin

for j:=1 to 10 do

begin

a[1,j]:=1;

write(a[1,j]:4:0,' ');

end;

writeln;

for i:=2 to 10 do

begin

for j:=1 to 10 do

begin

s:=0;

for k:=1 to j do

s:=s+a[i-1,k];

a[i,j]:=s;

write(a[i,j]:4:0,' ');

end;

writeln;

end;

end.

Questo programma calcola i numeri del triangolo di Pascal utilizzando la proprietà per cui ogni numero

è dato dalla somma tra il numero della stessa colonna ma riga precedente e il numero della stessa riga,colonna precedente ossia :

a(i,j) = a(i-1,j)+a(i,j-1) Per lanciare il programma clicca qui Attività di laboratorio: per lanciare il programma che costruisce il triangolo di Pascal

program triangolo2;

type mat=array[1..10,1..10] of real;

var n,i,j:integer;

a:mat;

begin

for j:=1 to 10 do

a[1,j]:=1;

for i:=1 to 10 do

a[i,1]:=1;

for i:=2 to 10 do

for j:=2 to 10 do

a[i,j]:=a[i-1,j]+a[i,j-1];

for i:=1 to 10 do

begin

for j:=1 to 10 do

write(a[i,j]:7:0);

writeln;

end;

end.

Attività di laboratorio: per lanciare il programma che costruisce il triangolo di Pascal

Triangolo armonico

1/1          1/2         1/3            1/4          1/5          1/6 .....

 

1/2          1/6        1/12        1/20       1/30 .....

 

1/3        1/12       1/30       1/60 .....

 

1/4        1/20        1/60 ......

 

1/5        1/30 .....

Questo programma calcola i numeri del triangolo armonico utilizzando la proprietà per cui ogni numero è dato dalla differenza tra il numero della stessa colonna ,riga precedente e il numero della riga precedente colonna successiva ossia:

armo(i,j)=armo(i-1,j)-armo(i-1,j+1)

Attività di laboratorio: per lanciare il programma che costruisce il triangolo di Pascal

program triangoloarmonico;

type mat=array[1..10,1..10]of real;

var i,j:integer;

armo:mat;

begin

for j:=1 to 11 do

armo[1,j]:=1/j;

for i:=2 to 11 do

for j:=1 to 11 do

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

for i:=1 to 10 do

begin

for j:=1 to 10 do

if (j=11-i+1) or (j>11-i+1) then write(' ')

else

begin

write('1/',round(1/armo[i,j]));

if round(1/armo[i,j])>100 then write(' ')

else

if round(1/armo[i,j])<10 then write(' ')

else

write(' ');

end;

writeln;

end;

end.

Questo programma verifica che la serie della prima riga del triangolo armonico diverge all'infinito, mentre le serie di ogni riga isima convergono ad armo(i-1,1)

program triangoloarmonico;

type mat=array[1..100,1..100]of real;

var i,k,j,n:integer;

armo:mat;

eps,M,a:real;

begin

for j:=1 to 11 do

armo[1,j]:=1/j;

for i:=2 to 11 do

for j:=1 to 10 do

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

for i:=1 to 10 do

begin

for j:=1 to 10 do

if (j=11-i+1) or (j>11-i+1) then write(' ')

else

begin

write('1/',round(1/armo[i,j]));

if round(1/armo[i,j])>100 then write(' ')

else

if round(1/armo[i,j])<10 then write(' ')

else

write(' ');

end;

writeln;

end;

readln;

n:=10;

M:=5;

eps:=1/100;

repeat

for j:=1 to n+1 do

armo[1,j]:=1/j;

i:=1;

a:=0;

for k:=1 to n do

begin

a:=a+armo[i,k];

writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);

end;

n:=n+1;

until(a>M);

writeln('la serie della ',i, ' riga tende a +infinito ');

readln;

n:=10;

repeat

for j:=1 to n+1 do

armo[1,j]:=1/j;

i:=2;

for j:=1 to n do

if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0

else

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

a:=0;

for k:=1 to n do

begin

a:=a+armo[i,k];

writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);

end;

n:=n+1;

until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);

writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ', armo[i-1,1]:8:6);

readln;

n:=10;

repeat

for j:=1 to n+1 do

armo[1,j]:=1/j;

i:=3;

for j:=1 to n do

if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0

else

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

a:=0;

for k:=1 to n do

begin

a:=a+armo[i,k];

writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);

end;

n:=n+1;

until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);

writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ', armo[i-1,1]:8:6);

readln;

n:=10;

repeat

for j:=1 to n+1 do

armo[1,j]:=1/j;

i:=4;

for j:=1 to n do

if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0

else

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

a:=0;

for k:=1 to n do

begin

a:=a+armo[i,k];

writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);

end;

n:=n+1;

until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);

writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ', armo[i-1,1]:8:6);

readln;

n:=10;

repeat

for j:=1 to n+1 do

armo[1,j]:=1/j;

i:=5;

for j:=1 to n do

if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0

else

armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];

a:=0;

for k:=1 to n do

begin

a:=a+armo[i,k];

writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);

end;

n:=n+1;

until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);

writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ', armo[i-1,1]:8:6);

readln;

end.

Nella notte del 23 novembre 1654 dalle ore 10.30 alle ore 12.30 Pascal ebbe un'estasi mistica che lo indusse ad abbandonare la scienza e la matematica per dedicarsi alla teologia .

Ma una notte del 1658 un terribile mal di denti gli impediva di dormire e per distrarsi e dimenticare il dolore rivolse di nuovo la sua attenzione allo studio della cicloide: miracolosamente il dolore cessò e questo fu interpretato da Pascal come un segno del Cielo che dovesse continuare ad interessarsi alla matematica.

Pascal nei suoi studi arrivò ad un passo dalla scoperta del calcolo infinitesimale , al punto che più tardi Leibniz doveva scrivere che proprio leggendo l'opera di Pascal aveva avuto una improvvisa intuizione : se Blaise non fosse morto così giovane avrebbe senza dubbio anticipato Newton e Leibniz nella loro scoperta.

Lilavati,"la bellissima", è il nome della figlia di Bhaskara che secondo la legenda non si sposò a causa della credenza del padre nelle proprie previsioni astrologiche .

Bhaskara aveva previsto , in base ai suoi calcoli astrologici , che sua figlia avrebbe potuto sposarsi ed essere felice soltanto in una particolare ora di un dato giorno .Il giorno delle nozze , mentre la fanciulla sedeva vicino ad un orologio ad acqua attendendo impazientemente lora del matrimonio , una perla le cadde , inosservata , dal turbante e finì nellorologio , ostruendo lo scorrere dellacqua . Quando la fanciulla se ne rese conto lora propizia per il matriminio era ormai passata , così la ragazza rimase zitella e per consolarla il padre dette il suo nome al libro di matematica che stava scrivendo .

per tornare all'inizio

 

  Gli indiani

Il più antico riferimento specifico alla notazione indiana risale al 662 e compare negli scritti di Severo Sebokt ,vescovo siriano .Dopo la chiusura delle scuole filosofiche ateniesi ordinata da Giustiniano , alcuni filosofi e scienziati erano emigrati in Siria , dove avevano fondato centri di cultura greca.

Sebokt , evidentemente offeso dal disprezzo per ogni forma di cultura non greca manifestato da qualcuno di costoro ,ritenne opportuno ricordare a coloro che parlavano il greco che "v'erano anche altri popoli che avevano conoscenze scientifiche " e aggiungeva :"Voglio soltanto dirvi che questi calcoli vengono effettuati per mezzo di 9 segni".

Che tale sistema di notazione fosse già in uso da parecchio tempo è indicato dal fatto che il primo esempio indiano compare su un piatto del 595 dove la data 346 è scritta in notazione posizionale decimale.

Va notato che il riferimento a 9 segni e non 10 implica che gli indiani non avevano ancora introdotto lo zero La prima comparsa dello zero si trova in un'iscrizione del 876.

E' abbastanza probabile che lo zero abbia avuto origine nel mondo greco forse ad Alessandria e sia stato trasmesso all'India dopo che vi si era consolidato il sistema posizionale decimale.

Con l'introduzione nella notazione indiana , della decima cifra , un segno rotondo a forma di uovo per indicare lo zero , veniva completato il moderno sistema di numerazione per gli interi

Il nuovo sstema di numerazione è basato su 3 principi fondamentali , tutti di origine molto antica:

1. una base decimale

2. una notazione posizionale

3. un simbolo diverso per ogni cifra.

Nessuno di questi principi venne originariamente inventato dagli indiani , ma va riconosciuto loro il merito di aver per la prima volta collegato i 3 principi a formare il sistema di numerazione moderno.

Tra i matematici indiani citiamo Aryabhata vissuto intorno al 500 circa,Brahmagupta (628) vissuto nell'India centrale .Brahmagupta cita due valori di p graco : il valore pratico 3 e il valore netto radice di 10 .

Forse il risultato più elegante nell'opera di Brahmagupta è la generalizzazione della formula di Erone per trovare l'area di un quadrilatero peccato che non si è reso conto che tale formula valeva solo per i quadrilateri ciclici.

L'opera di Brahmagupta presenta il primo esempio di aritmetica sistematica comprendente i numeri negativi e lo zero.

"Un numero positivo diviso per un numero positivo , o un numero negativo per un numero negativo dà un numero positivo.Zero diviso per zero non dà nulla. Un numero positivo diviso per un numero negativo dà un numero negativo. Un numero negativo diviso per un numero positivo dà un numero negativo.

Un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente per denominatore zero.

L'India produsse nel tardo Medioevo numerosi , tra cui Bhaskara(1114-1185) .Fu lui che colmò alcune lacune presenti nell'opera di Brahmagupta , prendendo in considerazione il problema della divisione per zero: per la prima volta l'asserzione che tale quoziente è infinito.

"Enunciato : dividendo 3 , divisore 0 , quoziente la frazione 3/0 .Questa frazione il cui denominatore è zero , vien definita una quantità infinita . In questa quantità , consistente in ciò che ha come divisore lo zero , non v'è nessuna alterazione, anche se vi viene aggiunto o tolto molto . infatti nessun mutamento ha luogo nella infinità e immutabilità di Dio

Questa affermazione suona promettente , ma l'ulteriore asserzione di Bhaskara che a/0 * 0 = a mostra la mancanza di una chiara comprensione del problema.

Il suo trattato , il Lilavati, contiene numerosi problemi , ecco due esempi:

Il problema della canna di bambù spezzata

Popolare in Cina (trattato anche da Brahmagupta)

Se una canna di bambù alta 32 cubiti viene spezzata dal vento e la sua cima cade toccando il terreno a 16 cubiti dalla radice , a che altezza si è spezzata ?

(R: 12 )

Il problema del pavone e il serpente

Un pavone è appollaiato su un palo alla cui base c'è la tana di un serpente ; vedendo il serpente a una distanza dal palo tripla dell'altezza del palo stesso ,il pavone si lancia sul serpente in linea retta prima che possa raggiunger e la sua tana ; se il pavone e il serpente prima di incontrarsi hanno percorso distanze uguali , a quanti cubiti dalla tana si incontrano ?

(problema indeterminato)

Lo zero

Vale la pena di dire qualche parola sulla forma del simbolo indiano per lo zero , forma che è anche la nostra.

Un tempo si riteneva che la forma tonda derivasse dalla lettera greca omicron, che era l'iniziale della parola ouden ,vuoto. Studi più recenti sembrano negare tale origine.

Sebbene il simbolo indicante una posizione vuota che compare in alcune delle versioni esistenti delle tavole delle corde di Tolomeo sembri simile a un omicron , i più antichi simboli per lo zero sono forme rotonde variamente decorate e nettamente diverse dalla forma di un semplice uovo.

 

 wpe4.jpg (4609 byte)  Galileo Galilei (1564-1642)

Gli sforzi di Galileo sono concentrati nei suoi due trattati , entrambi scritti in italiano : il "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" (1632) e i " Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze"(1638)

Il primo era un dialogo tra tre interlocutori intorno ai due sistemi tolemaico e copernicano del mondo ; Salviati , scienziato di professione , Sagredo dilettante curioso ed intelligente e Simplicio ottuso aristotelico.

Nel Dialogo Galileo non nasconde le sue preferenze che lo portarono al processo ed al confino .Durante gli anni del confino lavorò alla sua seconda opera ,usando lo stesso schema di dialogo con gli stessi tre interlocutori

Galileo fu in grado di mostrare che la traiettoria di un proiettile è una parabola . E' straordinario che le sezioni coniche fossero state studiate per quasi 2000 anni prima che due di esse trovassero simultaneamente un'applicazione nelle scienze : l'ellisse nell'astronomia e la parabola nella fisica.

Galileo aveva anche studiato la cicloide , la curva descritta da un punto che si muove su di un cerchio che rotola su di un piano orizzontale e cercò di calcolare l'area racchiusa da un arco di tale curva.

Ma riuscì solo a tracciare la curva sulla carta, ritagliare un arco e di pesarlo , concludendo che era di poco inferiore a 3 volte il cerchio generatore

Alcuni matematici francesi ed italiani mostrarono più tardi che l'area dell'arco era esattamente 3 volte l'area del cerchio generatore.

L'infinitamente piccolo aveva grande importanza per Galileo :

nei Discorsi si dice che se piegare un segmento a formare un quadrato o un ottagono equivale a dividere il segmento in 4 o 8 parti uguali , allora piegarlo a formare un cerchio significa dividerlo in infinite parti ossia 'con pari licenza dire d'aver ridotto all'atto quelle parti infinite che voi prima , mentre era retta , dicevi esser in lei contenute in potenza: infatti il cerchio è un poligono con infiniti lati . Ma Galileo afferma anche che 'gli infiniti e gli indivisibili sono incomprensibili dal nostro intelletto finito', quelli per la loro grandezza , questi per la loro piccolezza.

Dall'infinito geometrico passa poi all'infinito aritmetico considerando la corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei naturali e l'insieme dei quadrati perfetti. Sebbene vi siano molti numeri che non sono quadrati perfetti , tuttavia 'nel numero infinito , se concepir lo potessimo , bisognerebbe dire , tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme'

Galileo si trovava di fronte alla proprietà degli insiemi infiniti di essere uguale ad una sua parte .(vedi Cantor )

Ma concluse erroneamente che non solamente non si possa dire un infinito esser maggiore di un altro infinito , ma ne' che è sia maggior di un finito

I discepoli di Galileo

Bonaventura Cavalieri

Allievo di Galileo , scrisse la Teoria degli indivisibili basata sul principio che i solidi si possono immaginare decomposti in infinite sezioni piane , come un libro risulta composto dalla sovrapposizione delle sue pagine.

Il principio di Cavalieri sostiene l'equivalenza di due solidi aventi sezioni piane corrispondenti equivalenti .

Evangelista Torricelli

Anche un altro italiano , allievo di Galileo , Evangelista Torricelli applicò la teoria degli indivisibili alle figure piane: una figura piana poteva considerarsi un sistema continuo di infiniti segmenti paralleli (indivisibili rettilinei)

Appare evidente che per trovare l'area di una figura basterà sommare le infinite sezioni infinitesimali di cui tale figura è composta .

Questo è il primo approccio al concetto di integrale

La cicloide

              wpe5.jpg (9774 byte)

Detta l'Elena della matematica a causa delle polemiche e controversie che scatenò tra i matematici del tempo .

Nel 1615 Mersenne aveva richiamato l'attenzione dei matematici sulla cicloide, forse per averne sentito qualcosa da Galileo suo corrispondente

Nel 1628 ne parlò a Roberval che nel 1634 dimostrò che larea delimitata dallarco della curva è esattamente 3 volte larea del cerchio generatore.

Roberval non pubblicò le sue scoperte relative alla cicloide (che egli chiamava trocoide (da ruota) )

Nel frattempo si era interessato alla cicloide anche Torricelli ,forse attraverso Galileo.

Nel 1643 Torricelli inviò a Mersenne la quadratura della cicliode e nel 1644 pubblicò "De parabole" nella cui appendice inserì la quadratura della cicloide.

Nel 1646 Roberval accusò Torricelli di plagio

Oggi è chiaro che la priorità della scoperta spetta a Roberval ma la priorità della pubblicazione va a Torricelli il quale probabilmente rifece indipendentemente la scoperta dell'area

Inoltre nel 1658 Sir Cristopher Wren fu il primo a dimostrare che la lunghezza della cicloide da cuspide a cuspide è 4 volte il diametro del cerchio generatore .

Le proprietà meccaniche della cicloide sono altrettanto notevoli:

Il pendolo cicloidale (che oscilla tra due rami di cicloide ) descrive una cicloide ed è isocrono( i tempi di oscillazione sono uguali con qualsiasi ampiezza ) (Huygens 1673).

Inoltre la cicloide è tautocrona( curva di uguali tempi di discesa : qualsiasi sia il punto di partenza di una sfera che cade lungo la curva capovolta , la sfera giungerà sul fondo nello stesso tempo)(Huygens)

E' anche brachistocrona (curva dei minimi tempi ) ossia la cicloide è la curva che congiunge due punti A e B in modo che una sfera posta in A arriva in B lungo la curva nel minimo tempo (Bernoulli 1696)    per tornare a Galileo

wpe11.jpg (29664 byte)   Fermat

In realtà Fermat non era un matematico di professione , aveva fatto studi di diritto a Tolosa dove era diventato avvocato: tuttavia ebbe il tempo di dedicarsi alla matematica , dando un valido apporto allo studio della geometria analitica studiando le coniche in particolare .

E considerato il fondatore della moderna teoria dei numeri .

Usava spesso una metodo di dimostrazione detta a discesa infinita

Dimostrò anche che se un numero primo ha la forma 4n+1 esso è uguale alla somma di due quadrati .

es . 29 = 4 x 7+1             29=22+52

mentre 23 non ammette tale scomposizione

Famosissimo il Teorema di Fermat

Sappiamo che vi sono infinite terne pitagoriche per cui vale:

a2 + b2 = c2

Questo risultato fa sorgere la domanda se si possano trovare dei numeri interi per cui valga :

F) an +bn =cn con n>2

Una risposta fu data da Fermat : nelle sue annotazioni sui numeri pitagorici , asserì che l'equazione F) non ammette soluzioni intere per n >2

Fermat era solito appuntare le sue dimostrazioni sui margini del foglio su cui scriveva ,"

..ho scoperto una dimostrazione veramente bella , però questo margine è troppo piccolo per poterla contenere"

ma questa volta l'elegante dimostrazione che egli aveva trovato era troppo lunga per il margine su cui stava scrivendo , per cui non ci è pervenuta.

Il teorema di Fermat è stato dimostrato per ogni numero minore di 619, ma non per ogni n .

Solo recentemente è stata trovata la dimostrazione:

Il 23 giugno del 1993 Andrew Wiles    wpe12.jpg (12345 byte) annuncia di aver dimostrato l'ultimo teorema di Fermat .

Nel 1955 due giapponesi Taniyama e Shimura avevano formulato una congettura detta appunto Taniyama-Shimura Nel 1986 un americano Ken Ribet dimostrò che se è vera la congettura Taniyama-Shimura allora è vero il teorema di Fermat.

Wiles è riuscito appunto a dimostrare la congettura Taniyama-Shimura e quindi il teorema di Fermat.

Una dimostrazione rigorosa ed attendibile è stata pubblicata solo nel 1995 e con ciò si è concluso un capitolo affascinante e misterioso della storia della Matematica.

 

 wpeA.jpg (10834 byte) Cartesio

Renè Descartes (1596-1650) era di famiglia agiata e studio presso i Gesuiti .

Nel suo famosissimo trattato , il "Discours de la methode pour bien conduire sa raison e chercher la veritè dans le sciences" 1637, egli enunciava il suo programma di ricerca filosofica . Attraverso il dubbio sistematico sperava di giungere a idee chiare . Nella Geometrie , che era un'appendice del Methode, fece conoscere ai suoi contemporanei i principi della geometria analitica .

Lo scopo fondamentale di Cartesio non era quello che gli attribuiscono i moderni , ossia di ridurre la geometria all'algebra , bensì come dice egli stesso:

"Tutti i problemi della geometria si possono facilmente ridurre a tali termini che in seguito per costruirli basta conoscere la lunghezza di alcune rette"

Ciò che differenziava Cartesio da tutti i suoi predecessori era la sistematicità con cui usava l'algebra simbolica e sviluppava la sua interpretazione geometrica dell'algebra .

Forse l'unico simbolo arcaico è a al posto di =

L'uso delle prime lettere dell'alfabeto per indicare i parametri e delle ultime per le incognite , la notazione esponenziale , uso di + - avvicinano la simbologia di Cartesio alla nostra , con una sola differenza , per Cartesio tali simboli erano segmenti e non numeri

Il Libro I presenta la soluzione geometrica di equazioni di 2° grado del tipo z2=az+b2

Egli propone "Così,volendo risolvere qualsiasi problema ,si deve innanzi tutto considerarlo come risolto e si devono dare dei nomi a tutte le linee che sembrano necessarie per la sua costruzione ...."

Il Libro II contiene la trattazione degli Ovali di Descartes , luogo geometrico dei punti P in cui vale la proprietà : mD1+nD2=K con m,n interi e K costante qualsiasi e D1 e D2 le distanze di P da F e F'

Cartesio ,famoso ed onorato in tutto il mondo , a cinquantanni fu chiamato a Stoccolma dalla regina Cristina di Svezia wpeB.jpg (6264 byte) , appassionatasi alle sue opere.Si era nel 1646, ma solo 3 anni dopo Cartesio accettò l'invito .

Ricevette una accoglienza trionfale ,ebbe un lauto stipendio,ma la vita nella capitale scandinava non gli piaceva troppo. Contro la sua regola prediletta, era costretto talvolta ad alzarsi all'alba per le lezioni alla sua regale allieva; con lei , forse,ci fu anche del tenero . Morì un anno dopo il suo arrivo in Svezia per congestione polmonare.

Simbolismo algebrico

Per quanto riguarda lo sviluppo del simbolismo algebrico se ne possono individuare 3 stadi :

1) Algebra retorica - i problemi e la loro risoluzione sono espresse completamente a parole

2)Algebra sincopata - in cui vengono usate abbreviazioni

3) Algebra simbolica - in cui viene usato un sistema totalmente simbolico

Questi 3 stadi non rispecchiano una netta suddivisione cronologiche ; infatti già Diofanto nel III secolo d.C. usa abbreviazioni ( s per l'incognita ), mentre l'algebra di al-Khowarizmi è tutta retorica ( l'incognita viene detta cosa o radice di una pianta , da cui viene la parola radice per indicare la soluzione di un'equazione) .

Un esempio di algebra retorica di al-Khowarizmi:

cose uguale a numero ..............................ax=b

censi uguale a numero..............................ax2=b

censi uguale a cose ...................................ax2=bx

censi e cose uguale a numero...................ax2+bx=c

cubo e cose uguali a numero....................x3+bx=c

Ma anche per l'algebra simbolica le cose non andavano meglio perchè ogni autore usava simboli diversi :

Cardano (1545) :

cub9 p: 6 reb9 aeqlis 20 ..........................x3+6x = 20

Tartaglia(1556)

Trouame uno numero che azontoli la sua radice cuba uenghi ste , cioè .6.

x + x3 = 36

Cartesio (1637) :

             cx                                                      cx

yy cy - ---- y + ay - ac ...................=y2 cy- ---- y+ay-ac

              b                                                        b

 

wpe26.jpg (7665 byte)  Nepero

John Napier (Giovanni Nepero )

( 1550-1617) non era un matematico di professione . Era un ricco proprietario terriero scozzese di nobile famiglia .

Nepero stesso ci informa di aver lavorato alla sua invenzione dei logaritmi per 20 anni fino a pubblicare nel 1614 la sua opera 'Mirifici logarthmorum canonis descriptio' (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi).

L'idea centrale su cui si basa l'invenzione di Nepero è questa: per mantenere molto vicini i termini di una progressione geometrica di potenze intere di un dato numero occorre che il numero sia molto vicino a 1 , Nepero scelse

1-10-7 ossia 0,9999999 , per evitare decimali moltiplicò ogni potenza per 107 ossia N=107(1-1/107)L e chiamò L logaritmo di N .

In un primo tempo Nepero aveva chiamato i suoi indici di potenze numeri artificiali ma più tardi coniò il termine logaritmo dall'unione di logoV(ragione o rapporto) e aritmoV(numero)

Ricordiamo che (1-1/n)n per n =107 è vicino a 1/e =lim (1-1/n)n

Nepero fu il primo a pubblicare un'opera sui logaritmi ma idee molto simili  erano già state sviluppate dal matematico svizzero Burgi che però pubblicò i suoi scritti 6 anni dopo Nepero.

Invece di partire come aveva fatto Nepero da un numero un poco più piccolo di 1 (ossia 1-10-7) pensò di partire da un numero un poco più grande di 1 (ossia 1+10-4) .

Ora (1+1/n)n con n = 104 risulta per quei tempi una buona approssimazione di e ( detto numero di Nepero) dove e = lim (1+1/n)n

 

 

 

 

wpe15.jpg (16826 byte) Leonardo Pisano detto Fibonacci

Leonardo Pisano detto Fibonacci (figlio di Bonaccio)(1180-1250)

Il Fibonacci scrisse il Liber abaci ,libro dell'abaco .

In realtà non tratta dell'abaco ma discute in maniera esauriente metodi e problemi algebrici , difendendo decisamente l'uso delle cifre indio-arabiche e l'uso dello zero come cifra.

Il padre di Leonardo era un mercante pisano che aveva affari nell'Africa settentrionale e il figlio ebbe quindi modo di studiare sotto un maestro musulmano e di viaggiare in Egitto , in Siria e in Grecia era pertanto naturale che Fibonacci venisse a contatto con i metodi algebrici arabi , compreso il sistema di notazione indio-arabico e sfortunatamente la forma di espressione retorica

Il Liber abaci si interessa più dei numeri che della geometria : esso descriveva dapprima le nove figure indiane assieme al segno 0 che in arabo viene chiamato zefiro

E da zephirum e dalle sue varianti che sono derivati i nostri termini di cifra e di zero.

La sbarretta orizzontale nelle frazioni era usata regolarmente da Fibonacci ( ed era nota già nota nel mondo arabo ) ma fu solo nel XVI secolo che entrò nell'uso generale .

La sbarretta inclinata fu suggerita nel 1845 dal matematico A.De Morgan.

Il Liber abaci contiene un famoso problema, simile a quello contenuto nel papiro di Ahmes :

Sette vecchie donne andarono a Roma , ciascuna donna aveva sette muli ,ciascun mulo portava sette sacchi , ciascun sacco conteneva sette forme di pane e con ciascuna forma di pane verano sette coltelli , ciascun coltello era infilato in sette guaine.

Problema delle 7 vecchie (dal Liber Abaci di Leonardo Pisano )

Testo originale

Septem vetule vadunt roma ; quarum quelibet habet burdones 7 ; et in quolibet burdone sunt saculi 7 ; et in quolibet saculo panes 7, et quilibet panis habet cultellos 7, et quilibet cultellus habet vaginas 7.

queritur summa omnium predictorum.

Ma il problema che ispirò i futuri matematici era il seguente:

Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno a partire da ununica coppia se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

Questo famoso problema dà origine alla serie di Fibonacci :

1,1,2,3,5,8,13,21 dove f(n)=f(n-1)+f(n-2) e che f(n-1)/f(n) tende alla sezione aurea

Problema delle due torri

(dal Liber Abaci di Leonardo Pisano )

Testo originale

In quodam plano sunt due turres , quarum una est alta passibus 30, altera 40 et distant solo passibus 50 : infra quas est fons , ad cuius centrum volitant due aves pari volatu,discendentes pariter ex altitudine ipsarum; queritur distantia centri ab utraque turri.

Traduzione

Due torri , una alta 30 passi e l'altra 40 , sono distanti 50 passi; fra esse si trova una fontana verso la quale due uccelli, scendendo dalla sommità delle due torri , si dirigono con velocità uguale e vi pervengono nello stesso momento ; quali sono le distanze orizzontali delle due torri dal centro della fontana?

Soluzione algebrica

Fibonacci scrive (traduzione) :

Supponiamo che la fontana abbia dalla torre maggiore distanza 10 ; 10 per se stesso è 100; che aggiunto al quadrato della torre maggiore , cioè 1600, dà 1700; il quadrato della distanza rimanente ( della fonte dalla torre minore ) è 1600; che aggiunto al quadrato della torre minore , che è 900 , dà 2500.

Questa somma e la precedente differiscono di 800.

Bisogna allontanare la fonte dalla torre maggiore .Per esempio di 5 , cioè in tutto di 15, il cui quadrato è 225 , che sommato al quadrato della torre maggiore è 1825.

Ora si ha 35 per se stesso che è 1225, che aggiunto al quadrato della torre minore è 2125.

Le due distanze differiscono ora di 300. Prima era di 800. Quindi avendo aggiunto 5 passi abbiamo diminuito la differenza di 500.

Se moltiplichiamo 5 per 300 e dividiamo per 500 , otteniamo 3, che aggiunto a 15 passi dà 18. E tanto dista la fonte della torre maggiore.

Soluzione geometrica.

Fibonacci scrive :

40 e 30 sono 70 , la cui metà è 35, cioè la linea ef. Le linee df e bf sono lunghe 25 ; la differenza tra 35 e la torre minore è 5 che moltiplicato per 35 dà 175 , che diviso per la metà della lunghezza fra le due torri , cioè 25 , dà 7 ( per la linea fz).

Quindi dz vale 32 e rimane 18 per la linea zb

Problema del leone nel pozzo

(dal Liber Abaci di Leonardo Pisano)

Testo originale

Quidam leo est in quodam puteo, cuius profunditas est palmis 50 ; et ascendit cotidie 1/7 unius palmi , et descendit 1/9 . Queritur in quot diebus exierit de puteo.

Traduzione :

Il leone che era nel pozzo

Un certo leone si trova in un certo pozzo , profondo 50 palmi; sale ogni giorno di 1/7 di palmo e scende di 1/9.Si chiede in quanti giorni uscirà dal pozzo.

Soluzione originale

Pone , ut exiret extra puteo in diebus 63; ideo quia in 63 inuenitur et 1/9 1/7 : et uide quantum ascenderit leo ille , si descendendo in illis 63 diebus , ascendit enim septimas 63 unius palmi , que sunt palmi 9 ; et descendit nouenas 63 ,que sunt palmi 7:quos extrahe de 9 , remanent palmi 2 ; et tot ascendit amplius quam descendat in diebus 63.Vunde dices : pro diebus 63.

quos pono , ascendit palmos 2; quid ponam, ut ascendat palmos 50: multiplica 63 per 50 , et diuinde per 2 , exibunt dies 1575 ; et tot diebus leo exiet de puteo.

Traduzione

Ipotizza , per esempio , che sia uscito dal pozzo in 63 giorni; perciò in 63 si trovano 1/9 ed 1/7 : vedi di quanto sarà salito quel leone , se scendendo in quei 63 giorni , sale infatti della settima parte di 63 palmi , che equivale a 9 palmi ; e scende della nona parte di 63 , che equivale a 7 palmi ; che se sottrai da 9 , restano 2 palmi ; e di ciò sale più di quanto scenda nei 63 giorni.

Quindi dirai : nei 63 giorni che ipotizzo , sale di 2 palmi ; quale valore dovrò ipotizzare , perchè salga di 50 palmi ? Moltiplica 63 per 50 e dividi per 2 : risulta 1575 giorni ; e in tanti giorni il leone uscirà dal pozzo.

Noi oggi diremmo così:

Soluzione

Se il leone ogni giorno sale di 1/7 e scende di 1/9 , sale di 1/7-1/9=2/63 ogni giorno e quindi in 63 giorni sale di 2 palmi , in 63 X 25 =1575 giorni salirà di 50 palmi

Ma se consideriamo che l'ultimo giorno il leone sale di 1/7 senza più scendere visto che è arrivato alla sommità del pozzo ,e che la sua velocità è di 2/63, il tempo può essere calcolato così:

50 - 1/7

--------------- +1 = 1571,5 giorni

2/63

infatti 1570,5 x 2/63 = 49,85714286+1/7= 50

Quindi il leone esce dal pozzo nel 1572° giorno

(anche se 1572 giorni senza mangiare.....)

Attività di laboratorio: per lanciare il programma che risolve il problema del leone nel pozzo

Il problema del cane e della volpe

Testo originale

De cane et vulpe

Item si queritur de vulpe ,quae est ante canem passus quinquaginta , et passus novem fugentis vulpe , sunt passus sex sequentis canis; queritur in quantum ea consequet.

Traduzione

Il cane e la volpe

Allo stesso modo ci si interroga sulla volpe che è davanti al cane 50 passi , e nove passi della volpe che fugge equivalgono a sei passi del case che la segue . Si chiede in quanto tempo la raggiunge.

Soluzione

Se si intende che 9 passi della volpe corrispondono a 6 passi del cane allora la velocità della volpe Vv è 2/3 della velocità del cane Vc e quindi

Sc=Vc * t = 50 + Sv = 50 + Vv * t = 50 + 2/3 Vc * t

Vc * t = 50 + 2/3 Vc * t

1/3 Vc * t = 50

Vc * t = 150

Sc = 150

150 - 50 = 100 dopo 100 passi la volpe sarà afferrata dal cane

(non si può calcolare il tempo senza sapere quanto tempo impiega la volpe a fare un passo)

Problema dei due serpenti

Testo originale

Item est serpens in plano cuiusdam turris , que est alta palmis 100; et ascendat cotidie 1/3 unius palmi,et descendit cotidie 1/4.In summitate uero turrisest aliud serpens,qui descendit cotidie 1/5 et ascendit 1/6 ;queritur in quot diebus infra turrim coniungentur.

Traduzione

I due serpenti

Un serpente si trova ai piedi di una torre che è alta 100 palmi e sale ogni giorno di 1/3 di un palmo e scende di 1/4 .Ma sulla sommità della torre cè un altro serpente che scende ogni giorno di 1/5 di palmo e sale di 1/6 .Si domanda in quanti giorni si incontrano sulla torre.

Soluzione

Se si segue il ragionamento di Fibonacci:

1/3 - 1/4 = 1/12 = Va

1/5 - 1/6 = 1/30 = Vb

Sa=Va* t

Sb=Vb* t

Sa+Sb=100

(Va+Vb)t=100

(1/12 + 1/30)t=100

t=6000/7 =587.1428571 quindi i due serpenti si incontrano nel 858° giorno

Ma se si considera che quando si incontrano non devono più ridiscendere e risalire il ragionamento da fare è :

         Sa - 1/3                   Sb - 1/5

ta = --------------- +1 = --------------- +1 = tb

             1/12                       1/30

(Sa - 1/3)12 = (Sb-1/5)30

Sa+Sb=100

Sb=601/21

t=853.57 i due serpenti si incontrano nel 854° giorno

Problema del leone , leopardo e orso

Testo originale

De leone et leopardo et urso

Quidam leo comadebat unam ovem in oris IIII ,et leopardus in oris 5, et ursus in oris 6 ; queritur , si inter eos ovis una eiecta fueris , in quantis oris eam devoraverunt?

Traduzione

Il leone ,il leopardo e l'orso

Il leone mangia una pecora in 4 ore , il leopardo in 5 ore e lorso in 6 ore:si domanda , se tra loro fosse gettata una pecora , in quante ore la divorerebbero?

Soluzione

Il leone mangia in 1 ora 1/4 di pecora , il leopardo 1/5 e l'orso 1/6.

Insieme in 1 ora mangiano

1/4 + 1/5 + 1/6 = 37/60 di pecora

37/60 x 60/37 = 1 pecora in 60/37 di ora ossia 1h 37m 17s

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che calcola i primi n numeri di Fibonacci Laboratorio

Ora i programmi per calcolare i numeri di Fibonacci , i quadrati costruiti sui numeri di Fibonacci , i numeri di Padovan, i  triangoli equilateri con i numeri di Padovan ,il numero aureo, numero a cui tende il rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci.

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che calcola il numero Aureo

program aureo;

(Questo programma calcola il numero aureo )

var n:real;

function fibo(n:real):real;

begin

if (n=1) or (n=2) then fibo:=1

else fibo:=fibo(n-1)+fibo(n-2);

end;

begin

Writeln('Calcolo dell''approssimazione del numero aureo fi ');

writeln(' soluzione dell''equazione x= 1+1/x ');

writeln;

writeln('utilizzando i numeri di Fibonacci f(n) per cui ');

writeln(' f(n+1)/f(n) = fi ');

writeln;

writeln('Inserisci il valore di n ');

readln(n);

writeln('f(',n+1:2:0,')/f(',n:2:0,')= ',fibo(n+1)/fibo(n):16:14);

writeln;

writeln('mentre il numero aureo fi ottenuto risolvendo l'equazione è');

writeln('fi = ',(1+sqrt(5))/2:2:8);

end.

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che disegna i quadrati costruiti sui numeri di  Fibonacci

Program fiboquad;

$i graph.p}

var n:integer;

Procedure quadrato(n:integer);

var k:integer;

begin

for k:=1 to 4 do

begin

forwd(n);

turnright(90);

end;

end;

function fib(n:integer):integer;

begin

if (n=1) or (n=2) then fib:=1

else fib:=fib(n-1)+fib(n-2);

end;

begin

graphcolormode;

showturtle;

turtledelay(100);

setposition(-20,-30);

quadrato(1);

setposition(-21,-30);

quadrato(1);

forwd(1);

n:=3;

repeat

quadrato(fib(n));

forwd(fib(n));

turnright(90);

forwd(fib(n));

n:=n+1;

until n=13;

hideturtle;

end.

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che calcola i primi n numeri di Padovan

program padovan;

(Questo programma calcola i numeri di Padovan)

var n,k:integer;

function pado(n:real):real;

begin

if (( n=1 ) or (n=2)) or (n=3) then pado :=1

else pado:=pado(n-3)+pado(n-2);

end;

begin

clrscr;

writeln('quanti numeri di Padovan vuoi?');

readln(n);

for k:=1 to n do

writeln(pado(k):12:0);

end.

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che disegna i triangoli sui numeri di Padovan

program padotri;

$i graph.p}

var n:integer;

procedure tria(l:integer);

var k:integer;

begin

for k:=1 to 3 do

begin

forwd(l);

turnright(120);

end;

end;

function pado(n:integer):integer;

begin

if ((n=1) or (n=2)) or (n=3) then pado:=1

else pado:=pado(n-2)+pado(n-3);

end;

begin

graphcolormode;

setposition(65,40);

showturtle;

turtledelay(100);

turnright(30);

tria(1);

turnleft(60);

tria(1);

forwd(1);

turnright(60);

tria(1);

forwd(1);

n:=4;

repeat

tria(pado(n));

forwd(pado(n));

turnright(60);

n:=n+1;

until n=22;

hideturtle;

end.

wpe1B.jpg (19921 byte) Nicolò Tartaglia (1500-1557)

Nicolò Fontana fu chiamato Tartaglia a causa di un incidente occorsogli da ragazzo : fu ferito alla bocca da una sciabolata durante la battaglia che portò alla caduta di Brescia nelle mani dei francesi nel 1512 e questa ferita danneggiò le sue capacità di parlare .A questo matematico si attribuisce il merito di aver trovato per primo la soluzione algebrica delle equazioni di 3° grado anche se tale soluzione la si ritrova già nell'"Ars magna " di Gerolamo Cardano (1501-1576) nonostante egli avesse promesso a Tartaglia di non divulgare il segreto sulla soluzione che Tartaglia aveva per primo trovato per lasciargli il tempo di pubblicarla e diventare famoso.

Invece per quanto riguarda il triangolo detto di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti di (a+b)nesso è molto più antico

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

........

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che costruisce il triangolo di Tartaglia Laboratorio

Questo è il programma per costruire il Triangolo di Tartaglia

PROGRAM TARTAGLIA;

VAR N,I,J:INTEGER;

RISPOSTA:CHAR;

FUNCTION COEFF( N,K:INTEGER):INTEGER;

BEGIN

IF (N=K) OR (K=0) THEN COEFF:=1

ELSE COEFF:=COEFF(N,K-1)*(N-K+1) DIV K;

END;

BEGIN

WRITELN('QUALE RIGA DEL TRIANGOLO DI TARTAGLIA VUOI ?');

READLN(N);

FOR I := 0 TO N DO

WRITE(COEFF(N,I) , ' ' );

WRITELN(' VUOI TUTTO IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA FINO ALLA RIGA ', N,' ?');

READLN(RISPOSTA);

IF RISPOSTA ='S' THEN

BEGIN

FOR J:=1 TO N DO

BEGIN

FOR I:=0 TO N DO

BEGIN

IF COEFF(J,I)=0 THEN WRITE(' ')

ELSE WRITE(COEFF(J,I), ' ');

END;

WRITELN;

END;

END;

END.

                       

Gli arabi     

Durante il califfato di al-Mamun (809-833) gli arabi diedero libero sfogo alla loro passione per le traduzioni di testi di scienze come l'Almagesto di Tolomeo e la versione completa degli Elementi di Euclide.

Il teorema di Pitagora dimostrato da Euclide nei suoi "Elementi" tradotto dagli arabi

 

Al-Mamun fondò a Bagdad una "Casa del Sapere paragonabile al Museo di Alessandria .

Fra i suoi membri il  matematico e astronomo  Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi.

Egli scrisse due opere di aritmetica e algebra , pervenuta a noi nella traduzione latina con il nome di "De numero indorum"(sul calcolo numerico indiano) essendo andate perduta la versione originale araba.

In questa opera , basata presumibilmente su una traduzione araba di Brahmagupta , al-Khuwarizmi presentava una esposizione così completa del sistema di numerazione indiano che fu forse per causa sua se si diffuse l'errata convinzione che il nostro sistema di numerazione sia di origine araba.

Quando cominciarono a circolare traduzioni latine di quest'opera , lettori poco accurati attribuirono ad

Al-Khuwarizmi l'originalità del sistema di numerazione .

Genealogia delle cifre

wpeF.jpg (21328 byte)

Nota

Da Al-Khuwarizmi deriva la parola algoritmo procedimento costituito da una sequenza di istruzioni da eseguire per risolvere un problema.

Dal titolo dell'opera più importante Al-jabr wa'l muqabalah deriva la parola algebra.

I numeri venivano indicati con le lettere dell'alfabeto.

Dell'opera ci sono pervenute due versioni , una latina e una araba .

L'opera tratta delle equazioni di 2° grado , spurie , pure e complete .

Al-aKhuwarizmi è considerato il padre dell'algebra

Di alcune equazioni dà una dimostrazione geometrica

Questa dimostrazione del teorema di Pitagora , attribuita a Annairizi di Arabia , è nascosta nel mosaico arabo  formato dai quadrati dei cateti e, sovrapposto, da quello dell'ipotenusa . Di fianco la dimostrazione estrapolata dal mosaico

I Maya (300 a.C. - 1540 d.C.)

I Maya occuparono un vasto territorio che comprende la penisola dello Yucatan , alcune zone dello Chiapas e Tabasco , Guatemala , Belice , Honduras ed El Salvador

Grandi matematici ed astronomi hanno lasciato affascinanti testimonianze .

La matematica dei Maya si basa su due punti fondamentali:

l'introduzione dello zero ed il sistema di numerazione in base 20

Avevano due modi di rappresentare le cifre , mediante disegni di teste e mediante punti e segmenti

wpe20.jpg (42423 byte)

wpe21.jpg (22575 byte)

 

Erone

Erone Alessandrino è noto nella storia della matematica soprattutto per la formula che porta il suo nome , relativa all'area del triangolo .

Gli arabi ci dicono che la cosiddetta formula di Erone era già nota ad Archimede che senza dubbio ne aveva dato una dimostrazione ; tuttavia la dimostrazione che è contenuta nella "Metrica" di Erone è la più antica che conosciamo.

Sebbene oggi tale formula venga dimostrata per via trigonometrica , la dimostrazione di Erone è geometrica.

Erone era interessato a tutte le misurazioni : la legge di riflessione della luce era già nota sia a Eudosso sia ad Aristotele , ma fu Erone che mostrò ,mediante un semplice ragionamento geometrico , nell'opera "Catottrica" (o riflessione) che l'uguaglianza degli angoli di incidenza e di riflessione era una conseguenza del principio aristotelico secondo cui la natura sceglie sempre la via più facile: ossia se la luce deve viaggiare da una sorgente S ad uno specchio MM' e poi all'occhio di un osservatore E , la traettoria più breve SPE è quella in cui gli angoli SPM e EPM' sono uguali. (fig.1)

 

wpe32.jpg (1160 byte) I romani

Mentre i Greci portavano ai più alti livelli le conoscenze dell'intelligenza umana, si era sviluppata prodigiosamente la potenza di uno strano popolo , originariamente fatto di pastori e di cacciatori : la gente di Roma.

Le fiorenti colonie della Magna Grecia e della Sicilia , Cartagine , Atene e le città etrusche caddero preda delle aquile romane

La nuova nazione dominatrice , che si era dimostrata invincibile nellarte delle armi ed insuperabile nella capacità di legiferare , non aveva alcuna attitudine a coltivare la filosofia o la matematica.

Roma sfornò generali e condottieri, giuristi e storici, ingegneri in grado di realizzare formidabili opere , anche poeti per cantare le glorie e gli eroi , ma non cervelli capaci di dedicarsi alla speculazione pura.

Lo riconobbe lo stesso Cicerone : I matematici greci furono eccelsi nel campo della geometria pura,mentre noi ci siamo limitati alla pratica delle misure e del calcolo utile.

I romani contavano impiegando una numerazione in base 10 , avevano i loro segni di operazioni e scrivevano i numeri impiegando lettere dellalfabeto .

Ma per le frazioni usavano le parti di una unità di misura divisa in 12 , 144,288,576 parti , così come per le suddivisioni monetarie :

AS =1 ; uncia =1/12 ; drachma=1/96 ; obulus=1/576 ; per le altre frazioni si dovrà aspettare l'anno Mille dopo Cristo

 I numeri romani


I = 1                L = 50

II = 2              C = 100

III = 3             D = 500

IV = 4           M = 1000

V = 5

VI = 6

VII = 7

VIII = 8

IX = 9

X = 10

 

 

Diofanto

Nell'Era argentea dal 250 al 350 d.C. ,nota anche come Tarda Età Alessandrina , troviamo il più grande algebrista greco , Diofanto di Alessandria

Ben poco si sa della vita di Diofanto tranne una leggenda raccontata in una raccolta di problemi risalente al V o VI secolo , nota come Antologia Greca :

Dio gli concesse di rimanere fanciullo per un sesto della sua vita e trascorso un altro dodicesimo ,Egli gli coperse le guance di peluria ; dopo un settimo della sua vita Egli gli accese la fiaccola del matrimonio e cinque anni dopo il matrimonio gli concesse un figlio. Purtroppo questo bambino nato dopo tanto tempo fu sfortunato : dopo aver raggiunto la metà della vita di suo padre , fu portato via da un destino crudele .Dopo aver consolato il proprio dolore con la scienza dei numeri per quattro anni , pose termine alla propria vita 

Se questo indovinello è storicamente giusto Diofanto visse fino ad ottantaquattro anni 

 

( 1/6 x+1/12 x+1/7 x +5 +1/2x +4 = x         x=84 )

 

L'opera principale di Diofanto a noi nota è la  Arithmetica un trattato in tredici libri di cui ci sono pervenuti solo i primi sei

 wpe3.jpg (22964 byte) I cinesi

La datazione dei documenti matematici di origine cinese è tutt'altro che facile e le valutazioni concernenti il Chou Pei Suan Ching , generalmente considerato il più antico testo classico di argomento matematico , differiscono di quasi un millennio.

Il problema della sua datazione è complicato dal fatto che esso può essere stato l'opera di parecchi scienziati di periodi differenti : alcuni ritengono che risalga al 1200 a.C. altri al 1° secolo a.C. altri al III sec.a.C.

Il Chou Pei mostra come anche in Cina , analogamente a ciò che Erodoto aveva affermato a proposito dell'Egitto , la geometria era nata dalla misurazione : e come nella Babilonia , anche nella Cina la geometria era essenzialmente soltanto un esercizio di aritmetica e di algebra . Sembra che nel  Chou Pei sia riscontrabile qualcosa di simile al teorema di Pitagora, che veniva trattato algebricamente dai cinesi .

A sinistra una dimostrazione di un caso particolare del teorema di Pitagora relativa ad un triangolo di cateti 3 e 4 con l'ipotenusa di lunghezza 5.

A destra la verifica sperimentale del teorema di Pitagora applicato ad un qualsiasi triangolo rettangolo: usando una canna di bambù piegata dal vento, conoscendo la lunghezza  della parte appoggiata al muro e la distanza della canna piegata dal muro si calcola la lunghezza della parte piegata (ossia dell'ipotenusa)

Un altro caso particolare del teorema di Pitagora

 

Quasi altrettanto antico quanto il Chou Pei era il Chui chang suanshu ossia I nove capitoli dell'arte matematica: questo libro comprende 246 problemi riguardanti l'agrimensura , l'agricoltura , l'ingegneria , il calcolo , la soluzione di equazioni e le proprietà dei triangoli rettangoli.

Mentre i greci di questo periodo componevano trattati in cui l'esposizione era sistematica e ordinata , i cinesi ripetevano l'antico metodo degli egiziani e dei babilonesi consistente nella compilazione di serie di problemi specifici, usando anche il metodo della falsa posizione.

I cinesi avevano una predilezione per gli schemi: pertanto non meraviglia che il primo esempio di quadrato magico compaia nella matematica cinese.

Un esempio di quadrato magico:

4       9        2

3       5        7

8       1        6

La somma di ogni riga o colonna o diagonale è sempre 15

Costruzione di un quadrato magico di ordine 3 con le cifre da 1 a 9

La somma delle cifre da 1 a 9 è 45 che diviso per 3 dà 15 e questa è la somma delle righe , colonne e diagonali.

In una matrice di ordine 3 la cifra al centro appartiene a 2 righe e 2 diagonali, quindi in totale 4 incroci, la cifra in uno dei 4 vertici si trova in 3 incroci(1 riga, 1 colonna, 1 diagonale), la cifra al centro di una riga o di una colonna si trova in 2 incroci (1 riga e 1 colonna).

Siccome le cifre possono essere così abbinate:

5       +   (1;9) (2;8) (3;7) (4;6)         4 incroci   quindi al centro

4       +   (2;9) (3;8) (5;6)                  3 incroci   quindi in un vertice

6       +   (1;8) (2;7) (4;5)                  3 incroci   quindi in un vertice

2       +   (4;9) (5;8) (6;7)                  3 incroci   quindi in un vertice                   

1       +   (5;9) (6;8)                           2 incroci   quindi al centro di un lato

3       +   (4;8) (5;7)                           2 incroci   quindi al centro di un lato              

7       +   (2;6) (3;5)                           2 incroci   quindi al centro di un lato

9       +   ( 1;5) (2;4)                          2 incroci   quindi al centro di un lato

4       9        2

3       5        7

8       1        6

 

Attività di laboratorio:per lanciare il programma che verifica se una matrice 3x3 sia un quadrato magico Laboratorio

Questo programma in Turbo Pascal verifica se una particolare matrice quadrata di ordine 3 sia un quadrato magico .

program cinese;

type mat=array[1..3,1..3] of real;

vett=array[1..3] of real;

var i,j:integer;

d1,d2:real;

a:mat;

r,c:vett;

magico:boolean;

begin

clrscr;

magico:=true;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do

readln(a[i,j]);

for i:=1 to 3 do

begin

for j:=1 to 3 do

write(a[i,j]:8:0);

writeln;

end;

for i:=1 to 3 do

begin

r[i]:=0;

for j:=1 to 3 do

r[i]:=r[i] +a[i,j] ;

writeln('r(',i,')=' ,r[i]:4:0);

if (r[i]>15)or (r[i]<15) then magico:=false;

end;

for j:=1 to 3 do

begin

c[j]:=0;

for i:=1 to 3 do

c[j]:=c[j] +a[i,j] ;

writeln('c(',j,')=',c[j]:4:0);

if (c[j]>15)or (c[j]<15) then magico:=false;

end;

d1:=0;

d2:=0;

for i:=1 to 3 do

begin

d1:=d1 +a[i,i] ;

d2:=d2+a[i,4-i];

end;

writeln(' d1=',d1:4:0);

if (d1<15)or(d1>15) then magico:=false;

if (d2<15)or(d2>15) then magico:=false;

writeln(' d2=',d2:4:0);

if magico then writeln('questo Š un quadrato magico')

else writeln('questo non è un quadrato magico');

end.

 

L'abaco

wpe4.jpg (20476 byte)                    wpe5.jpg (7615 byte)

Nel 300 a.C. funzionari dell'amministrazione si portavano appresso in una borsetta bastoncini di bambù o di avorio per fare calcoli.

L'abaco, formato da una cornice rigida con palline mobili infilate su fili di ferro , cominciò ad essere usato molto più tardi : le prime descrizioni dell'abaco cinese detto suan phan risalgono al XVI secolo.

Il termine abaco deriva dalla parola semitica abq che significa polvere: ciò fa pensare all'uso di una bacinella contenente polvere usata come tavoletta per il calcolo.

Erodoto scriveva : Gli egiziani nel fare il calcolo muovono la mano da destra a sinistra , mentre i greci la muovono da sinistra a destra alludendo probabilmente all'uso di una tavoletta di calcolo come in Cina

Nell'opera "Prezioso specchio" che conclude l'Età aurea della matematica cinese compare il triangolo cosiddetto di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti delle potenze di un binomio fino all'ottava potenza .

 

 wpe3.jpg (14222 byte) Archimede

Per tutta l'Età Ellenistica Alessandria rimase il centro degli studi matematici , ma il più grande matematico di quell'Età, Archimede , non era nato ad Alessandria .

Forse Archimede studiò ad Alessandria per un certo periodo di tempo, sotto la guida dei discepoli di Euclide , tuttavia visse e morì a Siracusa .

Durante la II guerra punica ,la città di Siracusa venne coinvolta nel conflitto tra Roma e Cartagine ed essendosi schierata dalla parte di quest' ultima venne assediata dai romani dal 214 al 212 a.C.

Si dice che durante l'assedio Archimede abbia inventato ingegnose macchine da guerra per tenere lontano il nemico: catapulte ,dispositivi per sollevare navi , sviluppare incendi .

Alla fine però Siracusa cadde nelle mani dei romani e durante il saccheggio della città Archimede venne trucidato da un soldato romano , nonostante Marcello avesse dato ordini di salvare la vita del matematico.

Poiché Archimede aveva 75 anni all'epoca , si deduce che era nato intorno al 287 a.C.

Suo padre era un astronomo ed anche Archimede si fece una certa fama nel campo dell'astronomia.

Archimede non fu il primo a far uso della leva e nemmeno il primo a formularne il principio generale . Alcuni scritti aristotelici contengono il principio secondo cui due pesi posti su di una bilancia si fanno equilibrio quando sono inversamente proporzionali alle rispettive distanze dal fulcro.

Gli studi di Archimede sul principio della leva fanno parte del suo trattato , in due libri "Sull'equilibrio dei piani "questo non è il più antico libro esistente su quella che potremmo chiamare scienza fisica , infatti Aristotele , circa un secolo prima , aveva pubblicata un'opera molto nota in 8 libri , intitolata "Fisica "

Ma mentre il metodo di Aristotele era speculativo e non-matematico , quello di Archimede era simile a quello adoperato da Euclide , basato su postulati . Nel trattato in 2 libri" Sui galleggianti" espone il noto principio di Archimede conosciuto a scuola:

Lib.1 Prop.5~: Qualsiasi solido più leggero di un fluido, se collocato nel fluido , si immergerà in misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato .

Lib 1 Prop.7~: Un solido più pesante di un fluido , se collocato in esso , discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso e la differenza di peso sarà uguale al peso del fluido spostato.

Fu uomo di ingegno anche in geometria.
Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra la circonferenza ed il diametro , Archimede dette un'ulteriore prova della sua abilità nel calcolo arrivando a calcolare il perimetro del poligono regolare di 96 lati ed un valore approssimato di p compreso tra 3,1408 e 3,1428 ( Archimede non adoperò mai la notazione p) (Nel trattato Sulla misurazione del cerchio)

Aneddoti

La deduzione matematica del principio che regola il comportamento dei corpi galleggianti fu indubbiamente la scoperta che fece balzar fuori dal bagno il distratto Archimede che corse a casa nudo gridando Eureka

( L'ho trovato )

Può anche darsi che tale principio lo abbia aiutato a verificare l'onestà di un orefice sospettato di aver sostituito con dell'argento l'oro di una corona, fabbricata per il re Gerone di Siracusa ,amico se non parente di Archimede. La frode fu scoperta confrontando la densità dell'oro ,dell'argento e della corona , misurando gli spostamenti di acqua quando pesi uguali di ciascuna sostanza vengono immersi uno alla volta in un recipiente colmo d'acqua

Un altro aneddoto riguarda la sua abilità di ingegnere: si racconta che una volta il re Gerone aveva fatto costruire una nave che era troppo pesante per essere varata: ma Archimede , combinando leve e carrucole riuscì nell'impresa.

Un ultimo aneddoto relativo alla nota formula per calcolare il volume della sfera: La proposizione compare nel libro 1 prop.34 del trattato Sulla sfera e sul cilindro

Qualsiasi sfera è uguale a 4 volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della sfera e l'altezza uguale al raggio della sfera.

Come semplice corollario ne segue il rapporto archimedeo tra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto~

La figura di una sfera inscritta in un cilindro venne effettivamente incisa sulla tomba di Archimede , come sappiamo dalla testimonianza di Cicerone. Quando era questore in Sicilia , l'oratore romano rintracciò la tomba sulla quale era ancora visibile l'incisione e la fece restaurare , ma da allora ne è scomparsa ogni traccia.