Logica Matematica - parte seconda
L'isola dei.... cavalieri e furfanti
Situazione
L'isola è abitata solo da due tipologie di individui :
Parte prima - Parte seconda - Parte terza - Parte quarta- Parte quinta
Per risolvere i problemi diciamo che p e q sono le proposizioni utilizzate , legate dall'implicazione logica (simbolo" → ") ossia p→q , se p allora q , p implica q, p solo se q
Seguiamo sempre tutte le possibili strade, ossia se l'abitante che parla è un furfante o un cavaliere e vediamo quando il ragionamento porta ad una contraddizione, quella sarà la strada che elimineremo.
Dopo però seguiremo anche l'altra strada perchè non è detto che i problemi di logica abbiano sempre una soluzione.
Ci sono problemi che non hanno soluzione o che ne hanno più di una.
Ecco ora la tavola di verità dell'implicazione logica
p implica q
se p allora q
p solo se q
| p | q | p→q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Esempio : se piove prendo l'ombrello p : piove q: prendo l'ombrello
p→q p antecedente q conseguente
Se piove prendo l'ombrello è vera se :
piove e prendo l'ombrello
non piove e non prendo l'ombrello
non piove e prendo l'ombrello ( magari un eccesso di zelo)
Solo se piove e io non prendo l'ombrello significa che p→q è falsa
Quindi
p→q è sempre vera tranne quando l'antecedente è vera e la conseguente è falsa.
Inoltre p→q <=> ¬p V q
L'implicazione logica equivale a non p oppure q
Hanno cioè le stesse tavole di verità:
| p | q | ¬p | p→q | ¬p V q |
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
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E ora la doppia implicazione
p se e solo se q
p ↔ q
| p | q | p↔q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Es.
Prendo l'ombrello se e solo se piove
La doppia implicazione è vera se piove e prendo l'ombrello e
se non piove e non prendo l'ombrello
altrimenti è falsa
p ↔ q <=> (p→q) Λ (q→p)
| p | q | p→q | q→p | (p→q) Λ (q→p) | p ↔ q |
| V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V | V |
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Regole di deduzione
Modus ponens p vera
p→q vera
se ne deduce ____________
q vera
ossia (p Λ (p→q)) vera => q vera
Modus tollens p→q vera
¬q vera
se ne deduce ___________
¬p vera
ossia ((p→q) Λ ¬q) vera => ¬p vera
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Parte prima - Parte seconda - Parte terza - Parte quarta - Parte quinta
| Problema n.1 | Problema n.2 |
| Problema n.3 | Problema n.4 |
| Problema n.5 | Problema n.6 |
| Problema n.7 | Problema n.8 |
Un giorno passò un forestiero che, incontrando due abitanti A e B, chiese ad A :
" Lei è un cavaliere o un furfante ? "
A rispose : " Se B è un cavaliere allora io sono un furfante "
Cosa sono A e B ?
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Stessa situazione precedente
A dice:
p: Amo Linda
Se amo Linda allora amo Caterina
p → q
Cosa si può dire di Linda?
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Anna disse: Se oggi studio domani prendo un bel voto
Il giorno dopo Anna prese 8 all'interrogazione.
La sua compagna dedusse che Anna aveva studiato
il suo ragionamento è giusto?
E se avesse preso 4 all'interrogazione?
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Anna disse: Se oggi studio domani prendo un bel voto
Se Anna non avesse studiato avrebbe potuto prendere un bel voto?
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Il papà disse : Se piove prendo l'ombrello. Dopo poco uscì prendendo l'ombrello.
Il figlio Luca dedusse che pioveva.
E' corretto?
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Luca chiamò Alberto al telefono e gli disse:
"Se non trasmettono la partita per televisione allora faccio i compiti"
Il giorno dopo Luca arrivò a scuola senza aver fatto i compiti e Albeeto dedusse che avevano trasmesso la partita in televisione. Corretto?
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La professoressa disse a un collega:
"Se oggi gli alunni fanno chiasso, chiamo il preside"
Il collega nell'aula affianco sentì un gran
chiasso provenire dall'aula della professoressa e dedusse che la collega aveva
chiamato il preside.
Corretto?
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A e B parlano di un fatto giudiziario in cui sono coinvolti X e Y:
A dice : se X è colpevole allora lo è anche Y
B dice : X è innocente oppure Y è colpevole
A questo punto A e B si mettono a litigare sui due giudizi dati.
Arriva C e mette pace fra i due amici . Come e perchè ?
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Parte prima - Parte seconda - Parte terza - Parte quarta - Parte quinta
| Soluzione n.5 | Soluzione n.6 |
| Soluzione n.7 | Soluzione n.8 |
p: B cavaliere
q: A furfante
1° ragionamento : A furfante => p→q falsa => p vera e q falsa => A cavaliere =>contraddizione
2° ragionamento : A cavaliere => p→q vera => siccome q falsa => p falsa => B furfante
quindi la soluzione è : A cavaliere e B furfante
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p: A ama Linda
p→q Se A ama Linda allora A ama Caterina
1° ragionamento : A furfante => p falsa e p→q falsa => p falsa =>p→q vera =>contraddizione
2° ragionamento : A cavaliere => p vera e p→q vera =>A ama Linda e A ama Caterina
quindi la soluzione è : Linda è amata da A che però ama anche Caterina
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p: oggi studio
q: domani prendo un bel voto
p→q vera
q vera
________
? non si può dedurre correttamente se Anna ha studiato o no
p→q vera
¬q vera
________
¬p (modus tollens)
Si può dedurre correttamente che Anna non ha studiato
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p: oggi studio
q: domani prendo un bel voto
p→q vera
¬p vera
______
? non si può dedurre correttamente un bel voto o no per Anna
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p:piove
q:prendo l'ombrello
p→q vera
q vera
_______
? non si può dedurre correttamente se pioveva o no
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p: trasmettono la partita
q:faccio i compiti
¬p→q vera
¬q vera
_______
¬(¬p) vera (modus tollens)
Ossia p vera quindi è corretto dedurre che avevano trasmesso la partita
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p: gli alunni fanno chiasso
q: chiamo il preside
p→q vera
p vera
_______
q vera (modus ponens)
E' corretto dedurre che la professoressa ha chiamato il preside
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C mette pace tra i due con l'implicazione logica:
Infatti A e B dicono la stessa cosa:
A: p→q
B : ¬ p V q
ma p→q <=> ¬ p V q quindi A e B dicono la stessa cosa.
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