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La scuola di Atene - Raffaello

  

   wpe34.jpg (1741 byte) Le origini

Le origini della matematica sono più antiche della scrittura.

Erodoto e Aristotele erano poco inclini a far risalire le origini della matematica a un'epoca più antica della civiltà egiziana .

Erodoto sosteneva che tale disciplina fosse sorta in quella regione per rispondere al bisogno pratico di misurare le terre dopo le periodiche inondazioni del Nilo .

Aristotele era dell'opinione che fosse stata l'esistenza in Egitto di una classe agiata di sacerdoti a stimolare lo studio della geometria.

I punti di vista di Erodoto e di Aristotele sono rappresentativi delle due opposte teorie sugli inizi della matematica: l'una che vede le origini dalle necessità pratiche ,l'altra nell'agiatezza e nelle cerimonie rituali della classe sacerdotale.Il fatto che i geometri egiziani venissero indicati col nome di tenditore di corde può essere invocato a sostegno sia dell'una che dell'altra teoria.

 

 

Il metodo delle corde

 

Nell'antico Egitto,quando si doveva costruire la base quadrata di una piramide,per ottenere gli angoli retti,si adoperava il cosiddetto metodo della corda,che quindi risale almeno al 2900 a.C.

Ecco di cosa si tratta :

si prende una corda lunga 12 unità di lunghezza,e avente nodi che la dividono in parti,lunghe rispettivamente 3,4,5:si fissino nel suolo due paletti,distanti 4 unità .Fra i due paletti si tenda la parte di mezzo della corda : si tendano poi le altre due parti,lunghe 3 e 5 , fino ad incontrarsi in un punto.Si osserva che il triangolo ottenuto è rettangolo.

Tra i numeri 3,4,5 si ha 32 + 42 = 52

Se i lati sono multipli di 3,4,5 secondo uno stesso numero n si ha ancora un triangolo rettangolo e questa relazione è sempre valida.

Gli Egiziani attribuirono a queste terne numeriche un valore mistico.

In epoche molto remote gli Indiani e i Cinesi avevano osservato che per costruire un angolo retto si poteva utilizzare una corda divisa in parti lunghe 5,12,13 e anche una corda divisa in parti lunghe 8,15,17

E anche in questi casi 52 +122 = 132 e 82+152=172

Ancora oggi,in alcune zone del Sud della Francia i contadini usano il metodo della corda.

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La Pietra di Rosetta , antico porto vicino ad Alessandria , redatta in tre lingue, greca,demotica e geroglifica,scoperta nel 1799 nel corso della spedizione napoleonica , ha svolto un ruolo importantissimo per la decifrazione dei geroglifici. Gli studiosi Champollion in Francia e Thomas Young in Inghilterra fecero rapidi progressi e fu facile per loro svelare il mistero della numerazione geroglifica egiziana , che risale a 5000 anni fa ed utilizzava la base 10 : facendo uso di un semplice schema iterativo e di simboli distinti per ciascuna delle prime sei potenze di 10 , gli egiziani riuscivano ad incidere nella pietra , nel legno e in altri materiali numeri superiori al milione.

Un unico trattino verticale rappresenta l'unità, un archetto vale 10, un laccio vale 100, un fiore di loto vale 1000 , un dito piegato 10.000 , un barbio , simile ad un girino 100.000 , una figura inginocchiata ( forse il Dio dell'Infinito ) 1.000.000

I numeri presso gli Egiziani

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 Il papiro di  Rhind (detto anche di Ahmes )  

 

Molte notizie matematiche,forse risalenti a 5000 anni fa, sono contenute nel papiro ,largo 30 cm. e lungo       5.46 m, detto di Ahmes , dal nome dello scriba che lo aveva trascritto verso il 1650 a. C. Il papiro ,scoperto dall'egittologo scozzese Alexander Henry Rhind nel 1858, contiene tra l'altro anche il concetto di frazione .

Gli egiziani davano un'importanza particolare alla frazione 2/3: per calcolare un terzo di un numero essi ne calcolavano prima i 2/3 e poi ne sottraevano la metà.

Essi conoscevano il fatto che i due terzi della frazione 1/p è la somma delle due frazioni 1/2p e 1/6p .

Che il doppio della frazione 1/2p è uguale a 1/p .

Che 2/5 = 1/3 + 1/15

Che la frazione 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15

Che 2/15 = 1/10 + 1/30

Ahmes all'inizio della sua opera assicurava che essa avrebbe fornito uno studio completo ed esauriente di tutte le cose: la maggior parte del contenuto del papiro,dopo le tabelle delle frazioni di forma 2/n e n/10, è formata da 84 problemi di vario genere.

I primi 6 problemi chiedono di spartire 1,2,6,7,8,9 pagnotte fra 10 uomini : qui lo scriba fa uso delle tavole delle frazioni di forma n/10.

Problema n.1

Nel 1° problema lo scriba si preoccupa di mostrare che è corretto dare a

ciascuno dei 10 uomini 1/10 di pagnotta: se un solo uomo riceve 1/10 di pagnotta , 2 uomini ne riceveranno 2/10 o 1/5 e 4 uomini 2/5 ossia

1/3 + 1/15

Pertanto 8 uomini riceveranno 2/3 + 2/15 ossia 2/3 + 1/10 + 1/30 e otto uomini più due ne riceveranno 2/3 + 1/5 +1/10 +1/30 ossia l'intera pagnotta

Problema n.24

I problemi egiziani sono classificabili come aritmetici ma ve ne sono anche di algebrici del tipo x+ax =b oppure x+ax+bx=c x viene chiamata aha o mucchio ma l'equazione non viene risolta con i metodi dell'algebra moderna, bensì con la regola del falso : un esempio :

x+1/7 x =19 si attribuisce a x il valore 7 , ma siccome 7+(1/7)7 =8 e non 19 siccome 8(2+1/4+1/8 ) =19 ossia

7 (2+1/4+1/8) + (2+1/4+1/8) = 19

x= 7(2+1/4+1/8) ossia x= 16 + 1/2+1/8 come ci dice Ahmes verificando che

16 +1/2+1/8 + (2+1/4+1/8) =19

( 2+1/4+1/8 è 1/7 di x )

Problema n.51

Vi sono anche problemi geometrici

L'area del triangolo isoscele viene calcolata moltiplicando la metà della base per l'altezza

Nel problema n.52 viene calcolata l'area del trapezio isoscele (semisomma delle basi per l'altezza)

Questi problemi vengono risolti utilizzando la teoria delle equivalenze (il triangolo isoscele è equivalente alla metà di un rettangolo , il trapezio isoscele è equivalente al triangolo isoscele che ha per base la sooma delle basi e per altezza la stessa altezza) , ma gli egiziani non formalizzarono nè approfondirono questi concetti , anzi molte soluzioni sono approssimate .

Per esempio il problema n.50 risolve il calcolo dell'area del cerchio di diametro 9 unità trovando che esso è equivalente al quadrato di lato 8 , questo calcolo permetteva di arrivare ad una buona approssimazione di p greco

Il papiro di Mosca

Il papiro di Mosca è lungo 5.5 m e largo 7.5 cm

Fu scritto ,con minor accuratezza , da un ignota scriba della dodicesima dinastia (1890 a.C.)

Contiene 25 esempi non diversi da quelli del papiro di Ahmes , mentre riveste notevole importanza il problema n.14

Problema n.14

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l problema è corredato da una figura di un trapezio rettangolo con le basi di 4 e 2 , altezza 6 , ma le istruzioni indicano che si tratta di calcolare il volume di un tronco di piramide quadrata , con 2 facce laterali aventi per forma il trapezio rettangolo disegnato.

Lo scriba calcolava il volume utilizzando proprio la formula V=h(a2+ab+b2)/3 che evidentemente era nota a quei tempi , inoltre per b=0,la formula diventa il volume della piramide.

Forse si è usato il metodo di scomporre il tronco di piramide in un parallelepipedo avente volume b2h , 2 prisma triangolari di volume b(a-b)h/2 e una piramide a base quadrata di lato (a-b) di volume (a-b)2h/3.

I prismi potevano venir combinati a formare un parallelepipedo rettangolo con dimensioni b,a-b,h ; la piramide poteva essere concepita come un parallelepipedo avente dimensioni a-b,a-b, h/3 ; Dopo aver tagliato i parallelepipedi più alti in modo che le altezze siano tutte h/3, si possono facilmente disporre i pezzi in modo da formare 3 strati , ciascuno di altezza h/3 e di sezione a2 , ab, b2

wpe16.jpg (11590 byte)  Talete

 

Il centro dello sviluppo della matematica aveva cominciato a spostarsi dalla Mesopotamia al mondo greco circa sei secoli prima dell'Era cristiana , ma la ricostruzione della matematica greca primitiva è resa incerta dal fatto che non esistono documenti matematici risalenti ad epoca anteriore all'era ellenistica.

L'inizio della storia greca risale al secondo millennio a.C.

I mercanti e gli uomini dotti greci vennero in contatto con la matematica preellenica , ma assimilarono le conoscenze in maniera così profonda che la matematica assunse ben presto una fisionomia nettamente diversa.

I primi Giochi Olimpici si tennero nel 776 a.C. , in tale data si era già sviluppata una fiorente letteratura greca, invece sulla matematica non si sapeva niente .

Poi, durante il VI secolo a.C. apparvero due uomini , Talete e Pitagora , che hanno svolto nel campo della matematica un ruolo simile a quello di Omero e di Esiodo nel campo della letteratura.

Talete e Pitagora sono figure storicamente abbastanze confuse, ed inoltre non ci è stato tramandato nessun capolavoro attribuibile all'uno o all'altro

A loro sono attribuite frasi emblematiche come Conosci te stesso

Gnwti seauton nel caso di Talete o Tutto è numero nel caso di Pitagora.

Talete di Mileto (624-548 a.C.) e Pitagora di Samo(580-500 a.C.) ebbero la possibilità di viaggiare nei centri del sapere antico e acquisire informazioni sull'astronomia e sulla matematica .Si racconta che abbiano appreso la geometria in Egitto , l'astronomia in Mesopotamia

La tradizione riferisce che nel 585a.C. Talete suscitò lo stupore dei suoi concittadini con la previsione dell'eclisse solare in quell'anno.

Ciò che sappiamo della vita di Talete è in realtà molto poco.

Le date di nascita e di morte vengono calcolate in base al fatto che l'eclisse solare del 585a.C. ebbe luogo quando Talete era intorno ai quaranta anni e in base alla tradizione secondo cui aveva settantotto anni quando morì

Talete era un uomo di intelligenza fuori del comune, considerato il primo dei Sette Saggi e, "discepolo degli egiziani e dei caldei"

Il teorema dell'angolo inscritto in una semicerchio può essere stato appreso da Talete durante i suoi viaggi a Babilonia , ma la tradizione gli attribuisce una prima dimostrazione .

Talete è acclamato come il primo vero matematico , in quanto fondatore dell'impostazione deduttiva della geometria

Proclo (410-485 d.C.) nelle prime pagini del suo "Commento al Primo libro di Euclide" , riferisce che Talete andò dapprima in Egitto e da qui introdusse lo studio della geometria in Grecia.

Diogene Laerzio ,seguito da Plinio e da Plutarco , riferisce che Talete misurò l'altezza delle piramidi egiziane osservando la lunghezza delle ombre nel momento in cui l'ombra di un bastoncino verticale era uguale alla sua altezza. Erodoto racconta della previsione dell'eclisse solare fatta da Talete.

Altre leggende dipingono Talete come un mercante di sale , un contemplatore di stelle , un sostenitore del celibato , uno statista.

wpeA.jpg (11160 byte)    Zenone

La dottrina pitagorica secondo cui i numeri costituiscono l'intero universo era stata criticata dai seguaci di Parmenide , primo tra essi Zenone (450 a.C.)Egli avanzò argomentazioni volte a dimostrare la contraddittorietà insita nei concetti di molteplicità e di divisibilità .

Zenone sviluppò i suoi paradossi ,creando grande imbarazzo ( come ci conferma Aristotele nei suoi scritti)

Il primo paradosso è detto della dicotomia: un oggetto in movimento , prima di percorrere una data distanza , deve percorrerne prima la metà , ma prima di fare ciò deve percorrere il primo quarto , il primo ottavo ... e così via , attraverso un numero infinito di suddivisioni .

Il corridore deve percorrere un numero infinito di tali suddivisioni in un tempo finito , ma ciò è impossibile , occorrerebbe un tempo infinito , quindi il movimento è impossibile.

Il secondo paradosso è quello di Achille e la tartaruga:

Achille gareggia con una tartaruga che parte in posizione avvantaggiata : il ragionamento mostra che Achille ,per quanto veloce possa correre ,non potrà mai superare la tartaruga , per quanto lenta sia .

Quando Achille raggiungerà la posizione iniziale della tartaruga ,questa sarà già andata avanti di un tratto , per quanto piccolo , e quando Achille avrà percorso anche questa distanza , la tartaruga si sarà già spostata un po più avanti e così il processo continua indefinitamente , con il risultato che il veloce Achille non potrà mai superare la lenta tartaruga.

I paradossi della dicotomia e di Achille mostrano che se si assume l'infinita suddivisibilità dello spazio e del tempo , il movimento risulta impossibile .

wpe57.jpg (2131 byte)La Mesopotamia

Nella regione della Mesopotamia(regione tra due fiumi) si usava la scrittura cuneiforme . I documenti venivano impressi su tavolette di argilla soffice per mezzo di uno stilo , le tavolette venivano poi cotte al sole o in forni

Tali documenti scritti erano più resistenti alle ingiurie del tempo dei papiri egiziani , di conseguenza disponiamo oggi di una documentazione molto più vasta sulla matematica mesopotamica che sulla matematica egiziana.

Eppure fu la scrittura geroglifica egiziana e non quella cuneiforme babilonese ad essere decifrata per prima.

Fu solo nel secondo quarto del XX secolo che cominciarono ad apparire le prime esposizioni della matematica mesopotamica.

Migliaia di tavolette risalenti al tempi della dinastia degli Hammurabi (1800-1600 a.C.)illustrano il sistema di numerazione utilizzato in Mesopotamia : il sistema a base 60 , qualunque sia l'origine del sistema sessasegimale , esso ha goduto di una vita considerevolmente lunga , ne sopravvivono residui ancora oggi nella misura del tempo e degli angoli .

Per scrivere tutti i numeri fino a 59 si usavano 5 cunei larghi disposti di lato (ognuno rappresentava 10 unità ) e 9 cunei verticali ( ognuno rappresentava 1 unità ) , ma la vera novità è stata l'introduzione della notazione posizionale. 

In questo modo con 3 gruppi di 2 cunei verticali separati da uno spazio si possono rappresentare 2 (60)2+2(60)+2 = 7322

Sembra però che in un primo tempo i babilonesi non disponessero di nessun simbolo per indicare lo zero , e questo comportava una ambiguità: infatti 2 gruppo di 2 cunei verticali potevano rappresentare sia 2(60)+2 sia 2(60)2+2

Tuttavia ai tempi di Alessandro il Grande si usavano 2 cunei obliqui per indicare un vuoto e questo eliminava alcune ambiguità  ma non risultano numeri terminanti per 0 .

La notazione posizionale fu estesa anche alle frazioni, per cui aumentava l'ambiguità in quanto 2 gruppi di 2 cunei verticali potevano indicare anche 2+2(60)-1 oppure 2(60)-1+2(60)-2

Comunque i babilonesi possedevano capacità di calcolo pari a quella della moderna notazione frazionaria decimale.

Una tavoletta della collezione conservata a Yale ( n.7289) contiene il calcolo della radice quadrata di 2 . Il valore approssimato è 1,414222 che differisce di 8 X10-6 dal valore vero.

I numeri babilonesibabinum.bmp (265886 byte)

 

L'algebra

I babilonesi per eseguire una divisione moltiplicavano il dividendo per il reciproco del divisore, utilizzando opportune tavole dei reciproci Tra le tavolette risalenti al periodo babilonese antico ve ne solo alcune contenenti le potenze successive di un dato numero , analoghe alle moderne tavole degli antilogaritmi. Un'altra tavoletta contiene il problema : a quale potenza va elevato un certo numero perchè dia un numero dato? Tale problema è equivalente a quello di calcolare il logaritmo si un numero

La differenza sostanziale tra le antiche tavole dei logaritmi e quelle moderne è che i babilonesi non prediligevano una base particolare come la base 10 per noi moderni .

I babilonesi facevano anche uso di tavole di n3+n2

L'algebra raggiunse in Mesopotamia un livello molto più alto di quanto non avesse raggiunto in Egitto.

Molti testi mostrano che la soluzione dell'equazione di 2° grado completa non presentava difficoltà per i babilonesi , grazie ad agili operazioni algebriche .

In una tavoletta si chiede di trovare il lato di un quadrato se l'area meno il lato è uguale a 14,3 . La soluzione di questo problema equivale a risolvere x2-x=870 . La soluzione babilonese è equivalente ad applicare la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado

Equazioni cubiche venivano risolte consultando direttamente le tavole dei cubi e delle radici cubiche.

Equazioni cubiche miste della forma

x3+x2 =a venivano risolte utilizzando le tavole di n3+n2

La soluzione di equazioni di 2° e 3° grado raggiunta in Mesopotamia è una conquista notevole

Nella tavoletta (n.322) (1900-1600 a.C.) della Plimpton Collection alla Columbia University

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sono scritti le terne pitagoriche p2-q2 , 2pq, p2+q2

Va tenuto presente che le tavolette della Mesopotamia sono simili ai papiri egiziani per il fatto di fornire soltanto casi spacifici, senza alcuna formulazione generale.

In Mesopotamia l'area del cerchio veniva calcolata moltiplicando per tre il quadrato del raggio : misura questa che presentava una approssimazione inferiore a quella degli egiziani

Il teorema di Pitagora non compare nei documenti egiziani ,invece in Mesopotamia il teorema veniva largamente usato

Un testo cuneiforme appartenente alla collezione di Yale contiene la figura di un quadrato , della diagonale del quadrato ed il rapporto tra la diagonale ed il lato che risulta una approssimazione della radice quadrata di 2 a meno di un milionesimo !!

I numeri segnati sulla tavoletta sono sessagesimali e rappresentano il calcolo di √2 :

1 + 24/60 + 51/602 + 10/603  =

1 + 0,4 + 0,014166667 + 0,000046296 = 1,41421296

                                                       ( √2 = 1,41421356..... )

 

In un'altra tavoletta è proposto il seguente problema : una canna è appoggiata ad una parete , se la cima scivola di 3 unità quando l'estremità inferiore scivola via di 9 unità , quanto è lunga la canna ? La risposta esatta è 15 .

Testi cuneiformi continueranno ad essere scritti fino agli inizi dell'Era cristiana .

Laboratorio

Attività di laboratorio:per lanciare il programma sul calcolo della radice quadrata di un numero con il metodo babilonese

Algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di a

Sia a1 una approssimazione

per difetto

b1=a/a1 per eccesso

a2=(a1+b1)/2 per eccesso

b2= a/a2 per difetto

a3=(a2+b2)/2

ecc.

Questo algoritmo iterativo si presta ad un'elaborazione al computer

Vuoi vedere? Qui trovi il listato del programma in Turbo Pascal e se clicchi su   Attività di laboratorio:per lanciare il programma sul calcolo della radice quadrata di un numero con il metodo babilonese puoi  lanciare il programma

PROGRAM  ALGORITMO;

VAR a,a1,a2,b1,e:real;

BEGIN

CLRSCR;

WRITELN('PROGRAMMA PER CALCOLARE LA RADICE DI UN NUMERO');

WRITE('INSERISCI IL VALORE DI a  ');

READLN(a);

WRITE('INSERISCI L'' APPROSSIMAZIONE    = ');

READLN(e);

REPEAT

WRITE('INSERISCI APPROSSIMAZIONE PER DIFETTO DELLA RADICE DI a ');

READLN(a1);

UNTIL (a1*a1<a);

REPEAT

b1:=a/a1;

a2:=(a1+b1)/2;

a1:=a2;

UNTIL (a1*a1-a<e);

WRITE('LA RADICE DI a , APPROSSIMATA A MENO DI ',e:10:8,' E'' ', a1:10:8);

END.

   La numerazione presso i Greci e gli Ebrei

wpe19.jpg (21264 byte)

  wpe8.jpg (11153 byte) Pitagora

 

Particolare della Scuola di Atene di Raffaello . Nella lavagna è disegnata la lira, simbolo dell'armonia musicale e il tetractys simbolo sacro di Dio e dell'universo

Nato a Samo in Grecia nel 572 a.C. pare fosse andato da giovane in Egitto :lì avrebbe appreso la prime nozioni matematiche,soprattutto di geometria.

Tornato a Samo, dopo un soggiorno di 20 anni in Egitto, trovò che molti avvenimenti politici avevano cambiato l'aspetto della sua città: non potendo sopportare il governo del tiranno Policrate, lasciò ben presto la Grecia trasferendosi nella Magna Grecia.

A Crotone egli raccolse attorno a sé un gruppo di allievi: la novità del suo insegnamento fece accorrere alla scuola tutti gli abitanti e l'entusiasmo era così vivo che anche le donne, infrangendo la legge che le escludeva dalle assemblee, andavano ad ascoltarlo.

Ma che cosa insegnava Pitagora?

Un primo insegnamento dava una preparazione morale e religiosa al cittadino. Comprendeva anche i primi elementi di matematica e musica, ai quali Pitagora dava la più grande importanza.

Dopo questa specie di istruzione primaria, i migliori allievi passavano sotto l'insegnamento continuo e diretto del Maestro: essi venivano a far parte di una specie di confraternita : si chiamavano i Pitagorici.

Il loro simbolo era quello che si chiama Stella d'Italia: una stella a cinque punte.

Erano così strettamente legati che è difficile dire quali studi sono da attribuirsi al Maestro e quali agli allievi.

Era un grandissimo onore appartenere a quella associazione, in cui i ricchi dovevano dividere i loro beni con i poveri: e non solo i beni materiali, dato che tutti facevano la stessa vita, ma anche la conoscenza .

Storia

La scoperta delle proprietà pitagoriche precede,e di molti secoli Pitagora, anche se soltanto in un caso particolare .

Lo attestano documenti recentemente trovati nelle terre dell'antica Babilonia.

Poche decine di anni fa,durante scavi eseguiti nella zona dell'antica Babilonia,furono ritrovate delle tavolette di argilla in cui si trattavano questioni di matematica: è uno dei più antichi documenti che si posseggono : risale al 1800-2000 a.C.

Ecco quanto è scritto su una di queste tavolette:

Un bastone lungo 30 unità è appoggiato a un muro:in alto scivola di 6 unità .Di quanto il piede del bastone si è allontanato dalla base del muro ?

Segue la risoluzione:si dice che si deve fare il quadrato di 30 e da questo sottrarre il quadrato del numero ottenuto togliendo a 30 il numero 6 ,e cioè 24 : si ottiene in tal modo il quadrato del numero 18 Bene ,18 è il numero cercato ,cioè il piede del bastone si allontana di 18 unità dalla base del muro .

Numeri Pitagorici

Una terna di interi a,b,c formano una terna di numeri pitagorici se :

a2 + b2 = c2

Se a,b,c non hanno fattori comuni , la terna è detta primitiva.

Tutte le terne pitagoriche si ottengono da :

       a = v2 - u2

T) b = 2uv

       c = u2 + v2

con u e v interi primi tra loro e non entrambi dispari, v>u

Dim:

Posto a/c=x e b/c = y       segue x2+ y2=1

y2=(1-x)(1+x)

y/(1+x)=(1-x)/y      posto   = t = u/v segue

tx - y = -t

x + ty = 1        che risolto dà   

x = (1-t2)/(1+t2)

y = 2t/(1+t2)

Sostituendo x,y,t si ottiene :

a/c = (v2-u2)/(u2+v2)

b/c = 2uv/(u2+v2) da cui

a = (v2-u2) r

b = 2uv r

c = (u2+v2) r          con r fattore di proporzionalità quindi per r =1

vale l'enunciato T)

 Dimostrazioni del teorema di Pitagora  - Animazioni

Pitagora conosceva probabilmente quei casi particolari che erano stati scoperti solo empiricamente dagli Egiziani,dai Babilonesi,dai Cinesi,dagli Indiani.

Ma da quelle osservazioni di carattere empirico , non era facile passare ad una generalizzazione della proprietà, dimostrare cioè che : in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Secondo alcuni la dimostrazione data da Pitagora sarebbe la seguente:

Si disegnino due quadrati uguali:si scompongano uno di questi quadrati in due rettangoli uguali e in due quadrati e l'altro in quattro triangoli rettangoli uguali (i cateti di ogni triangolo devono aver la lunghezza delle dimensioni dei rettangoli della figura precedente) e in un quadrato.

E chiaro che i quattro triangoli equivalgono ai due rettangoli: basta , per vederlo bene disegnare le diagonali dei rettangoli.

Quindi il quadrato A ha la stessa area di B+C.

Osserviamo ora che A non è altro che il quadrato costruito sull'ipotenusa di una dei quattro triangolini, mentre B e C sono i quadrati costruiti sui cateti.

Animazione

Altra dimostrazione del teorema di Pitagora

Sia ABC il triangolo rettangolo in A.

Costruiamo sull'ipotenusa il quadrato BCDE,sul cateto AB il quadrato Q1 e sul cateto AC il quadrato Q2.

Condotta da A la perpendicolare a BC,si viene a scomporre il quadrato BCDE nei due rettangoli BLME, LCDM , che indicheremo con R1 e R2

Per il 1° Teorema di Euclide R1 è equivalente ad Q1 e R2 è equivalente a Q2 per cui R1+R2 è equivalente a Q1+Q2

ossia il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

pitafig21.bmp (378370 byte)

Animazione

Se non si vuole richiamare il teorema di Euclide si può utilizzare la dimostrazione in figura

pitafig3.bmp (208854 byte)

Altre costruzioni particolari quando il triangolo rettangolo è anche isoscele è evidenziata nella figura

pitafig4.bmp (197054 byte)

Animazione

 

 

In generale vale la costruzione

pitafig5.bmp (93178 byte)

Animazione

 

 

 

Il teorema di Pitagora generalizzato

Il teorema del coseno talvolta è impropriamente detto teorema di Carnot dal nome dell'illustre matematico francese Lazzaro Carnot (1753-1823) presidente della Convenzione ,in un primo tempo nemico e poi generale di Napoleone Bonaparte.

Notiamo che tale teorema era già conosciuto ,benchè sotto altra forma,da Euclide(III sec. a.C.) il quale per giungere alla sua dimostrazione vi dedicò quasi al completo uno dei 13 libri dei suoi famosi Elementi.

Tale teorema dovrebbe più propriamente denominarsi Teorema di Pitagora generalizzato : in ogni modo , nella forma trigonometrica, esso era certamente noto prima di Carnot , invero il Viete (1540-1603) in un'opera del 1593,lo mette sotto la forma :

2bc/(b2+ c2 - a2 ) = 1/cos a

Teorema del coseno

In un triangolo qualsiasi ,il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due , meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo compreso:

a2 = b2 + c2 - 2 b c cos a

Nota : nel caso particolare in cui l'angolo = 90° la formula si riduce al teorema di Pitagora : a2 = b2 + c2

              Per vedere altre dimostrazioni del teorema di Pitagora

                                        clicca su    Altre dimostrazioni

       

 

wpe19.jpg (34397 byte)  Euclide(300 a.C)

 

Di Euclide sappiamo ben poco.

Gli venne dato l'epiteto di stoiceiwthV cioè compositore degli Elementi

Una delle testimonianze più importanti su Euclide è quella di Proclo,vissuto nel V secolo dopo Cristo .

Proclo scrive che Euclide è più giovane dei discepoli di Platone,e più vecchio di Archimede(che menziona nelle sue opere gli Elementi di Euclide)

Da qui Proclo deduce che Euclide visse ai tempi del re Tolomeo I e siccome Platone morì nel 347 a.C. e Archimede visse tra il 287 e il 212 ,è molto probabile che Euclide scrisse gli Elementi intorno al 300 a.C.

Euclide visse ad Alessandria d'Egitto ( da non confondere con Euclide di Megara che visse un secolo prima e che era un filosofo)

La denominazione Euclide di Alessandria è contenuta in un brano di Pappo in cui si dice che Apollonio passò lungo tempo insieme ai discepoli di Euclide ad Alessandria.

Sul carattere di Euclide abbiamo un brano tratto dall'opera di Pappo nel quale si elogia Euclide per la sua modesta riservatezza , tanto da non dimenticare l'opera dei predecessori .

Infatti Euclide compose gli Elementi raccogliendo molti teoremi di Eudosso,di Teeteto .

Inoltre Euclide era platonico , al punto di porre come scopo finale dei suoi Elementi la costruzione dei poliedri regolari( le figure cosmiche del Timeo)

Aneddoti

Alcuni aneddoti , riferiti da Proco , ci danno la possibilità di comprendere il carattere di Euclide.

Nel primo , ci è detto che il re Tolomeo chiese a Euclide se non ci fosse un mezzo più breve degli Elementi per imparare la geometria, e che Euclide gli rispose che non esistono vie regie in geometria.Nel secondo aneddoto si narra che un discepolo , dopo aver imparato alcuni dei primi teoremi , chiese ad Euclide: Maestro, quale utile ricaverò imparando queste cose ? Ed Euclide chiamò un servo e gli diede ordine di dare qualche moneta al malcapitato, visto che voleva trarre guadagno da ciò che studiava , e di mandarlo via.

Dal primo aneddoto si deduce lestremo rigore di Euclide , tanto da non fare concessioni didattiche , neanche al re.

Il secondo aneddoto allude al carattere strettamente teorico degli Elementi Per esempio , Euclide dimostra la proporzionalità tra i cerchi e i quadrati dei diametri , ma non accenna ad una determinazione del relativo rapporto costante , che è legato al famoso p

Valori approssimati di detto rapporto verranno forniti più tardi da Archimede, il massimo ingegnere dell'antichità, che non disdegna le applicazioni pratiche .

Gli Elementi di Euclide

 

Gli Elementi di Euclide sono divisi in 13 libri nei quali vengono trattati argomenti elementari di geometria e aritmetica

Nei primi 4 libri viene

trattata la geometria piana.

In particolare nel 1° libro , dopo tre serie di principi (23 definizioni (oroi : termini) , 5 postulati (aithmata) , 5 nozioni comuni (koinai ennoiai)) che costituiscono una specie di introduzione generale a tutta l'opera , vengono esposte l'uguaglianza dei triangoli,la teoria delle rette parallele,la teoria delle equivalenze dei pologoni: proposizioni cardini del 1° libro sono i teoremi sulla somma degli angoli interni di un triangolo pari a due retti ed il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo.(vedi Il teorema di Pitagora : dimostrazione n.3)

Nel libro 2° vengono ripresi alcuni procedimenti già iniziati nel libro precedente:

si giunge alla costruzione di un quadrato equivalente ad un poligono

Nel 3° libro vengono studiate le proprietà del cerchio e nel 4° si operano costruzioni di poligoni regolari.

Il 5° libro contiene la teoria

delle proporzioni tra grandezze

Nel 6° libro la teoria delle proporzioni viene applicata alla geometria per lo studio dei poligoni simili e la generalizzazione della quadratura di un poligono.

Nel 7°,8°,9° libro si tratta della teoria dei numeri interi

Nel 10° libro si studiano i numeri irrazionali

Gli ultimi 3 libri trattano della geometria solida e dei poliedri regolari.

Il 1° libro degli Elementi di Euclide

Il 1° libro è uno dei più interessanti perchè contiene una catena di proposizioni , legate l'una all'altra in ferrea concatenazione ,ma anche perchè contiene i principi sui quali tutta lopera è basata.

I principi si dividono in 23 definizioni (oroi = termini ) ,5 postulati (aithmata = richieste ) , 5  nozioni comuni (koinai ennoiai )

Nella sistematizzazione moderna si parte da concetti primitivi , dei quali non viene data definizione , es. punto , retta , piano.

Di questi concetti vengono poi date delle definizioni implicite mediante proposizioni , i postulati , che li collegano .

Invece Euclide si comporta e definisce anche il punto e la retta,li descrive perchè possano essere riconosciuti.

Per esempio nella 4° definizione chiama linea retta quella che "uniforme su di sè con i suoi punti giace"

(Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa)

Definizione oscura, forse Euclide vuole dire che sulla retta non vi sono punti privilegiati, così come sul piano non vi sono rette privilegiate. per torrnare agli Elementi

Definizioni ( oroi)

1) Shmeion esti, ou meroV ouqen.

Punto è , di cui parte nessuna

(Punto è ciò che non ha parti )

Aristotele diceva " L'indivisibile nella quantità si chiama unità se è indivisibile e non ha posto , ma se è indivisibile e ha posto si chiama punto .

Platone  nel Sofista dice :" Il veramente uno bisogna dirlo senza parti "

Euclide con questa sua prima definizione riprende il pensiero pitagorico

Scolio in Euclide Elem.I

def.1 , Heiberg V

oi de Pitagoreioi to shmeion orizontai monada qesin ecousan.oi gar ariqmoi kai jantasiaV kaqareusin.to de shmeion en jantasiai proteinetai.

I pitagorici definiscono il punto come unità avente posizione ;poichè i numeri sono esenti da figura e rappresentazione , mentre il punto è esteso.

2)Grammh de mhkoV aplateV

Linea poi lunghezza senza larghezza

(Linea è lunghezza senza larghezza)

Scolio in Euclide Elem.I def. 2,Heiberg V

oi de Piqagoreioi to men shmeion analogon elambanon monadi, duadi de thn grammhn kai triadi to epipedon , tetradi de to swma. kaitoi AristotelhV triadikwV proselhluqenai qhsi to swma wV diasthma prwton lambanwn thn grammen.

I pitagorici ponevano il punto come corrispondente all'unità, il due alla linea , il tre alla superficie , il quattro al solido. Invece Aristotele dice che il corpo si ottiene con il prodotto triplo, in quanto assume come unità estensiva la linea.

3) GrammhV de perata shmeia

Di una linea poi estremità (sono i ) punti

( Estremi di una linea sono punti)Euclide considera la linea come terminata, quello che i matematici chiamano segmento

Il punto viene di nuovo definito come estremo di una linea

4) Euqeia grammh estin,   htiV ex isou toiV ef eauthV shmeioiV keitai

 

Retta linea è ,quella che in modo uniforme su di sè con i suoi punti giace

(Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa)

Definizione oscura, forse Euclide vuole dire che sulla retta non vi sono punti privilegiati, così come sul piano non vi sono rette privilegiate.

5)Epijaneia de estin ,o mhkoV kai platoV monon ecei

Superficie poi è ciò che lunghezza e larghezza solo ha

(Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza)
6)EpijaneiaV de perata grammai

Di una superficie poi estremità le linee(Estremi di una superficie sono linee )

 

7)EpipedoV epijaneia estin,htiV ex isou taiV ej eauthV euqeiaiV keitai

Piana superficie è quella che in modo uniforme su di sè con le rette giace

(Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su essa)

8)EpipedoV de gwnia estin h en epipedw duo grammwn aptomenwn allhlwn kai mh ep euqeiaV keimenwn proV allhlaV twn grammwn klisiV

Angolo piano è l'inclinazione reciproca di due linee su un piano,le quali si incontrino fra loro e non giacciono in linea retta

Si parla di angolo curvilineo ,perchè delimitato da due linee (non necessariamente rette) inoltre Euclide esclude l'angolo piatto

9)Otan de periecousai thn gwnian grammai euqeiai wsin , euqugrannoV kaleitai h gwnia.

Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette,l'angolo si chiama rettilineo.

10)Otan de euqeia ep euqeian staqeisa taV efexhV gwniaV isaV allhlaiV poih,orqh ekatera twn iswn gwniwn esti,kai h efesthkuia euqeia kaqetoV kaleitai,ef hn efesthken

 

Quando una retta innalzata su una (altra) retta forma gli angoli adiacenti uguali tra loro,ciascuno dei due angoli uguali è retto,e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata .

L'aggettivo kaqetoV di una retta, perpendicolare ,significa letteralmente lasciata, fatta cadere, l'idea del filo a piombo.

11)Ambleia gwnia estin h meizwn orqhV

Angolo ottuso è quello maggiore di un retto

12)Oxeia de h ellasswn orthV

Angolo acuto è quello minore di un retto

13)OroV estin ,o tinoV esti peraV

Termine è ciò che è estremo di qualche cosa

14)Schma esti to upo tinoV h tinwn orwn periecomenon.

Figura è ciò che è compreso da uno o più termini

15)KukloV esti schma epipedon upo miaV grammhV periecomenon (h kaleitai perifereia ) ,proV hn af enoV shmeiou twn entoV tou schmatoV keimenwn pasai ai prospitousai euqeiai (proV thn tou kuklou perifereian ) isai allhlaiV eisin

Cerchio è una figura piana compresa da un'unica linea (che si chiama circonferenza),tale che tutte le rette ,le quali cadono sulla linea (cioè sulla circonferenza del cerchio) a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura , sono uguali tra loro.

16)Kentron de tou kuklou to shmeion kaleitai

Quel punto si chiama centro del cerchio.

17)DiametroV de tou kuklou estin euqeia tiV dia tou kentrou hgmenh kai peratoumenh ej ekatera ta merh upo thV tou kuklou perijereiaV ,htiV kai dica temnei ton kuklon

Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio,la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

18)Hmikuklion de esti to periecomenon schma upo te thV diametrou kai thV apolambanomenhV up authV perifereiaV ,kentron de tou hmikukliou to auto,o kai tou kuklou estin

Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio

19)Schmata euqugramma esti ta upo euqeiwn periecomena ,tripleura men ta upo triwn ,tetrapleura de ta upo tessapwn,polupleura de ta upo pleionwn h tessapwn euqeiwn pereicomena.

Figure rettilinee sono quelle comprese da rette ,vale a dire ,figure trilatere quelle comprese da tra tre rette , quadrilatere quelle

comprese da quattro e multilatere quelle comprese da più di quattro rette

Con tetrapleuron Euclide indica il quadrilatero mentre con tetragwnon indica il solo quadrato.

20)Twn de tripleupwn schmatwn isopleuron

men trigwnon esti to taV treiV isaV econ pleuraV,isoskeleV de to taV duo monaV econ pleuraV,skalenon de to taV treiV anisouV econ pleuraV

Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali , isoscele quello che ha soltanto due lati uguali , e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.

21)Eti de twn tripleurwn scematwn orqogwnion men trigwnon esti to econ orthn gwnian ,amblugwnion de to econ ambleian gwnian,oxugwnion de to taV treiV oxeiaV econ gwniaV.

Infine,delle figure trilatere ,è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto , ottusangolo quello che ha un angolo ottuso , ed acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

22)Twn de tetrapleurwn schmatwn tetragwnon men estin ,o isopleuron te esti kai orqogwnion,eteromhkeV de, o orqogwnion men ,ouk isopleuron de, romboV de, o isopleuron men, ouk orqogwnion de, romboeideV de to taV apenantion pleuraV te kai gwniaV isaV allhlaia econ, o oute isopleuron estin oute ortogwnion : ta de para tuata tetrapleusa trapezia kaleisqw.

Delle figure quadrilatere , è quadrato quella che è insieme quilatera ed ha gli angoli retti ,rettangolo quella che ha gli angoli retti , ma non è equilatera , rombo quella che è equilatera , ma non ha gli angoli retti , romboide quella che ha i lati e gli angoli opposti uguali tra loro ,ma non è equilatera nè ha gli angoli retti . E le figure quadrilatere oltre a queste si chiamano trapezi.

23)Parallhloi eisin euqai , aitiveV en tw autw epipedw ousai kai ekballomenai eiV apeiron ej ekatera epi mhdetera sunpiptousin allhlaiV

Parallele sono quelle rette che,essendo nello stesso piano e vnendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte , non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

La linea retta non viene concepita da Euclide come attualmente infinita , ma come infinita potenzialmente : cioè nel senso che qualunque retta limitata (segmento) può essere ancora prolungato .

In questo senso va intesa anche la definizione di rette parallele : rette che comunque prolungate , non si incontrano.

Proclo in Euclide I

( en toiV orqogwnioiV trogwnoiV to apo thV thn orqhn gwnian upoteinoushV pleuraV tetragwnon ison esti toiV apo twn thn orqhn gwnian pereicouswn pleurwn tetragwnoiV) twn men istorein ta arcaia boulomenwn akouontaV to wewrhma touto eiV Puwagoran anapempontwn estin eurein kai bouqutein legontwn auton epi thi euresei

(Nei triangoli rettangoli il quadrato costruito sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai quadrati costruiti sui lati che comprendono l'angolo retto). Se consultiamo i ricercatori di cose antiche troviamo che essi fanno risalire questo teorema a PitagoraHotwordStyle=BookDefault; e affermano che egli anche sacrificò un bue per questa scoperta.

Scolio in Euclide I

oi arcaioi to qewrhma touto eiV Putagoran anapempousi , kai qaumasth esti h qewria tou qewrhmatoV toutou.

Gli antichi fanno risalire questo teorema a Pitagora ; la verità che esso dimostra è mirabile.

Scolio 152 .Heib. V

epi thi euresei toutou tou qewrhnatoV bouquthsai legetai o PuqagoraV wV qhsi ProkloV exhgoumevoV auto

Per la scoperta di questo teorema si racconta che Pitagora abbia sacrificato un bue come riferisce Proclo nel suo commento.

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Postulati

1) Hithsqw apo pantoV shmeiou epi shmeion euqeian grammhn agagein Risulti postulato :che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

2)Kai peperasmenhn euqeian kata to suneceV epo euqeiaV ekbalein

E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta

 

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3)Kai panti kentrw kai diasthmati kuklon grajesqai

E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza

( = raggio)

4)Kai pasaV taV orqaV gwniaV isaV allhlaiV einai

E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro .

5)Kai ean eiV duo euqeia empiptousa taV entoV kai epi ta auta merh gwniaV duo orqwn elassonaV poih ekballomenaV taV duo euqeiaV epo apeiron sumpiptein eji a merh eisin ai twn duo orqwn elassoneV

E che , se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori d due retti (= tali che la loro somma sia minore di due retti ) , le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (= la cui somma è minore di due retti)

 

 

Nota

 

Per i matematici moderni i postulati sono proposizioni primitive che si riferiscono ad enti che vengono implicitamente definiti: per esempio noi non definiamo il punto e la retta ma enunciamo il 1° postulato : per due punti passa una e una sola retta : ora dobbiamo attribuire a punto e retta un significato che soddisfi quel postulato ,ciò apre la strada alla Geometria astratta , in cui gli enti geometrici sono enti qualsiasi purchè soddisfacenti i postulati .

Per Euclide invece gli enti geometrici vengono prima definiti negli oroi

Nel 1° postulato si parla di linea retta ( ma si intende segmento di retta)

Per Euclide la retta è limitata (ossia è un segmento) come ci avverte anche la 3° definizione : estremi della linea sono i punti, ma può essere prolungata quanto si vuole ,come richiesto nel 2° postulato

La retta per Euclide è potenzialmente infinita

Il 3° postulato dice che con un qualunque centro e raggio si può costruire un cerchio.

I primi 3 postulati hanno un carattere costruttivo.

Il 4° postulato stabilisce l'uguaglianza degli angoli retti , anche se non adiacenti come nella definizione n.10

Il 5° postulato è il famoso postulato delle rette parallele

Con i primi 4 postulati Euclide dimostra 28 proposizioni (le ultime due sono: se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni uguali (n.27) o coniugati interni supplementari (n.28) le rette sono parallele .

Per dimostrare il teorema inverso (n.29)(se due rette sono parallele esse formano con una trasversale angoli coniugati intern supplementari) deve ricorrere al 5° postulato ( che della proposizione n.29 è la contronominale, la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi ) e poi continua con tutte le più importanti proposizioni che da questa discendono (es. n.32 : la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti)

Quindi Euclide non potendo dimostrare la proposizione n.29 con i primi 4 postulati non la pone come postulato , ma sceglie come 5° postulato la proposizione contronominale della n.29 e da lì prosegue con la teoria delle rette parallele

Il fatto che Euclide non sia riuscito a dimostrare il 5° postulato ha portato molti matematici del passato a cercarne la dimostrazione ,infruttuosamente.

Solo nel 19° secolo si è arrivati a dimostrarne l'indimostrabilità

Per essere dimostrabile il 5° postulato dovrebbe dipendere dagli altri 4 e dalle 28 proposizioni precedentemente dimostrate.Ciò comporterebbe che i 4 postulati , le 28 proposizioni e la negazione del 5° postulato dovrebbero portare ad una contraddizione , ma ciò non si è verificato!!

Per cui i 4 postulari , le 28 proposizioni e la negazione del 5° postulato formano le cosiddette geometrie non euclidee

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Nozioni comuni

1)Ta tw autw isa kai allhloiV estin isa

Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche tra loro

2)Kai ean isoiV isa prosteqh ta ola estin isa

E se cose uguali sono addizionate a cose uguali , le totalità sono uguali.

3)Kai ean apo iswn isa ajaireqh ta kataleipomena estin isa

E se da cose uguali sono sottratte cose uguali , i resti sono uguali.

7)Kai ta ejarmozonta epo allhla isa allhloiV estin

E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali

8)Kai to olon tou merouV meizon (estin)

8) Ed il tutto è maggiore della parte

((4))Kai ean anisoiV isa prosteqh ta ola estin anisa

E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali , le totalità sono disuguali

((5))Kai ta tou autou diplasia isa allhloiV estin

E doppi di una stessa cosa sono uguali fra loro

((6))Kai ta tou autou hmish isa allhloiV estin

E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.

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Dal 10° libro degli Elementi

Una probabile dimostrazione pitagorica dell'irrazionalità della radice di 2

Euclide Elementi X Appendice 27 , vol III p.408 Heiberg

(Nella sua edizione degli Elementi euclidei Heiberg ha collocato questa dimostrazione in appendice come aggiunta spuria , accettando lipotesi che si tratti come di una dimostrazione nata in ambiente pitagorico.

Heiberg la considera uninterpolazione , insieme con tutta lestrema parte del libro X . Alcuni studiosi avanzano invece lipotesi che non si tratti di uninterpolazione , ma proprio di uno spostamento ,che Heiberg esclude, Euclide avrebbe avvertito , alla fine del X libro , lopportunità di dimostrare con un esempio lesistenza di quelle grandezze incommensurabili da lui definite al principio del X libro , e sarebbe ricorso allesempio classico della diagonale e lato del quadrato .)

 

Prokeisqw hmiv deixai , oti epi twn tetragwnwn schmatwn asummetroV estin h diametroV thi pleuai mhkei.

estw tetragwnon to ABGD , diametroV de autou h AG legw ,oti h GA asummetroV esti thi AB mhkei .

ei gar dunaton ,estw summetroV: legw oti sumbhsetai ton auton ariqmon artion einai kai perisson.

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Sia da dimostrare che nelle figure quadrate il diametro è incommensurabile col lato in lunghezza.

Sia ABCD un quadrato e AC il suo diametro ; dico che AC è incommensurabile in lunghezza con AB .

Supponiamo che sia commensurabile : dico che ne conseguirà che lo stesso numero sia insieme pari e dispari.

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