Una probabile dimostrazione pitagorica dell'irrazionalità di Ö 2
Euclide Elementi X Appendice 27 , vol III p.408-Heiberg (Nella sua edizione degli Elementi euclidei Heiberg ha collocato questa dimostrazione in appendice come aggiunta spuria , accettando l'ipotesi che si tratti di una dimostrazione nata in ambiente pitagorico.Heiberg la considera un'interpolazione , insieme con tutta l'estrema parte del libro X . Alcuni studiosi avanzano invece l'ipotesi che non si tratti di un'interpolazione , ma proprio di uno spostamento ,che Heiberg esclude: Euclide avrebbe avvertito , alla fine del X libro , l'opportunità di dimostrare con un esempio l'esistenza di quelle grandezze incommensurabili da lui definite al principio del X libro , e sarebbe ricorso all'esempio classico della diagonale e lato del quadrato .)
Prokeisqw hmiv deixai , oti epi twn tetragwnwn schmatwn asummetroV estin h diametroV thi pleuai mhkei.Estw tetragwnon to ABGD , diametroV de autou h AG legw ,oti h GA asummetroV esti thi AB mhkei .Ei gar dunaton ,estw summetroV: legw oti sumbhsetai ton auton ariqmon artion einai kai perisson...........
Sia da dimostrare che nelle figure quadrate il diametro è incommensurabile col lato in lunghezza.Sia ABCD un quadrato e AC il suo diametro ; dico che AC è incommensurabile in lunghezza con AB .Supponiamo che sia commensurabile : dico che ne conseguirà che lo stesso numero sia insieme pari e dispari.....
Noi oggi diremmo così:
Il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato non sarà mai uguale ad n/m con n ed m interi e primi tra loro.
Per il teorema di Pitagora 2 L2=D2
Se per assurdo D/L =n/m anche D2/L2= n2/m2
e quindi n2/m2=2 ossia n2=2 m2
ma se 2 è un fattore di n con esponente pari non può essere contenuto a destra dell'uguaglianza con esponente dispari , quindi il rapporto tra la diagonale ed il lato del quadrato non è un numero razionale (n/m) ma irrazionale
Ö 2= 1,4142..... con infinite cifre decimali