1	Matematica e arte Un binomio inscindibile
2	Elenco
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4	Escher
5	Ricorsività
6	Frattali
7	I FRATTALI : LE NUOVE FRONTIERE DELLA GEOMETRIA
8	Introduzione alla geometria dei frattali
9	"Nasceva quella branca della Matematica..." Nasceva quella branca della Matematica che Mandelbrot ha chiamato Geometria dei Frattali.
10	"Essa è capace di rappresentare..." Essa è capace di rappresentare i profili di una montagna o di una costa , le nuvole, le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie.
11	Caos e frattali Le stelle e le galassie in moto nel cielo costituiscono un sistema dinamico che è stato studiato per secoli da migliaia di scienziati; il mercato azionario è un altro sistema dinamico che varia nel tempo, così come le condizioni meteorologiche sulla Terra. L’aumento o la diminuzione di una popolazione o anche il moto di un pendolo sono sistemi dinamici. Per alcuni di essi è possibile prevederne l’evoluzione, per altri non è altrettanto semplice a causa delle troppe variabili che interagiscono: è possibile prevedere il moto dei pianeti ma non le variazioni atmosferiche a lungo termine o l’indice Dow Jones con una settimana di anticipo. Ma anche sistemi dinamici con una sola variabile possono comportarsi in maniera altrettanto caotica. Modelli generati da funzioni quadratiche iterate portano allo studio del caos e la geometria dei frattali aiuta a dare di tali fenomeni una rappresentazione grafica. Il caos ci circonda : un uragano, un torrente in piena, le volute di fumo, il mercato finanziario hanno tutti un comportamento caotico, ma oggi con i frattali si apre uno spiraglio verso la comprensione e la previsione di tali fenomeni.
12	"La parola "frattale""
13	Benoit Mandelbrot
14	Proprietà dei frattali
15	Dimensione di un oggetto
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21	Risposta
22	Dimensione fratta
23	Dimensione secondo Hausdorff
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28	La curva di Koch
29	La curva di Koch
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31	Polvere di Cantor
32	La polvere di Cantor si ottiene con il seguente procedimento: Passo 0 : si parte da un segmento di lunghezza l (nell’immagine è stato aggiunto uno spessore per maggiore chiarezza). Passo 1 : si divide il segmento in 3 parti uguali e si elimina la parte centrale. Passo 2 : ogni segmento così ottenuto lo si divide ancora in 3 parti e si elimina la parte centrale. Ripetendo tale procedimento si ottiene un oggetto frattale di dimensione D=logN /log(1/r)= log2/log3 = 0.63 (N= 2 r =1/3)
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35	Triangolo di Sierpinski
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37	Insieme di Mandelbrot
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39	"La possibilità di Mandelbrot di..."
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43	Insieme di Julia
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49	Grafica computerizzata
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56	I frattali e l’informatica
57	Ricorsività
58	"Per la costruzione della curva..." Per la costruzione della curva di Koch al computer si costruisce la procedura fioccodineve che contiene in sé la procedura lato che è ricorsiva.
59	"Se il passo è 0..." Se il passo è 0 la procedura lato disegna un segmento, altrimenti divide il lato per 3, riduce il passo di 1 e disegna la spezzata (se il passo è 0 ) richiamando 4 volte la procedura lato altrimenti richiama la procedura lato che ricorsivamente ripete il procedimento fino a quando il passo non diventa 0
60	"La procedura fioccodineve disegna un..."
61	Frattali in natura Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia degli alberi non è liscia, né il fulmine viaggia in linea retta. Benoît Mandelbrot
62	Frattali in natura
63	La geometria del cavolo Il titolo è provocatorio, ma non molto lontano dal vero: infatti uno dei primi esempi di oggetto frattale in natura, utilizzato dallo stesso Mandelbrot per chiarire meglio la proprietà dell’autosomiglianza, è proprio il cavolo anzi il cavolfiore.
64	Cavolfiore
65	"Ma la natura ha spessissimo..." Ma la natura ha spessissimo strutture frattali: le foglie degli alberi, le felci hanno strutture frattali perfettamente riconoscibili
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67	"La linfa nelle piante e..." La linfa nelle piante e nelle foglie segue percorsi frattali. Le spugne marine, i coralli hanno processi frattali di accrescimento.
68	"Nel corpo" Nel corpo umano la circolazione del sangue, i bronchi, i polmoni hanno strutture frattali
69	"I biologi Jim Brown e..." I biologi Jim Brown e Brian Enquist e il fisico Geoffrey West hanno dimostrato che il sistema circolatorio dei mammiferi e quello delle radici e dei rami degli alberi sono delle strutture frattali, ne hanno calcolato la dimensione fratta che è risultata la stessa per entrambi i sistemi.
70	"Le nuvole," Le nuvole, i vortici caotici, i fulmini sono frattali che possono essere riprodotti al computer. Tutte le coste o i rilievi montuosi sono formati da avvallamenti e sporgenze che si ripropongono secondo modalità frattali.
71	Le coste Mandelbrot nel suo libro Gli oggetti frattali si pone il problema di calcolare la lunghezza delle coste della Bretagna
72	Le coste italiane Noi possiamo partire dalle coste italiane utilizzando il suo ragionamento: prendiamo una cartina dell’Italia e con un segmento corrispondente a 100 km (nella scala della cartina geografica) ricopriamo la costa italiana. Ne disegneremo circa 50. Quindi la lunghezza delle coste italiane in prima approssimazione è 50 X 100 = 5000 km.
73	"Prendiamo ora una cartina stradale..." Prendiamo ora una cartina stradale ed utilizziamo un segmento corrispondente a 1 km: ne occorreranno 6000 per ricoprire tutta la costa italiana, quindi la lunghezza della costa italiana è di 6000 km.
74	"Alla scala di 1 m..." Alla scala di 1 m la lunghezza della costa italiana diventerebbe 10000 km.
75	"E riducendo ancora la scala..." E riducendo ancora la scala otterremmo una lunghezza sempre maggiore. Quindi osserviamo che scale diverse portano a calcolare lunghezze molto diverse! E che estremizzando questo ragionamento si arriva a dire che le coste italiane (ma anche britanniche come dice Mandelbrot nel suo trattato) e quindi le coste di tutte le nazioni hanno una lunghezza che tende all’infinito!
76	"Questo risultato paradossale deve farci..." Questo risultato paradossale deve farci capire che il profilo di una qualunque costa è un oggetto frattale la cui lunghezza può essere calcolata solo fermandosi ad un determinato passo di precisione. Nel caso delle coste italiane con una scala adeguata (in grado di considerare le irregolarità più significative ma senza perdersi in dettagli insignificanti) si può considerare il valore di 8000 km come corretto.
77	I frattali in arte L’architettura di molte chiese in varie epoche ha una struttura frattale. Esempi famosi sono le cattedrali gotiche in cui strutture elementari si ripetono a diverse scale ritrovando la proprietà frattale dell’autosomiglianza.
78	Cattedrali gotiche
79	Vetrate
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81	Opera di Parigi
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83	_{Maurits Cornelis Escher}
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85	Ricorsività in arte
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127	I frattali nelle scienze sociali
128	Veduta aerea degli insediamenti di Ba-ili nel sud dello Zambia
129	I frattali in economia
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135	Caos e frattali
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137	Video
138	Costruzioni al computer
139	Animazioni Flash Curva di Koch Polvere di Cantor Triangolo di Sierpinski Soffione Arnia