Enigma n.6 26 /10/98
E' vero che due numeri naturali consecutivi non hanno mai un fattore comune ?
E tre numeri dispari consecutivi?
Motiva le risposte.
Soluzione:
I numeri naturali si alternano in un numero pari (np = 2n) ed un numero dispari (nd = 2n+1). Questo significa che due numeri naturali consecutivi non potranno mai essere divisibili entrambi per 2, e quindi per un numero pari. Ma due numeri consecutivi non potranno mai essere divisibili entrambi neanche per 3, dal momento che e' divisibile per 3 un numero ogni tre numeri naturali. Per lo stesso motivo, due numeri naturali consecutivi non potranno mai essere divisibili entrambi per 5, per 7, e per ogni altro dei numeri primi. Quindi:
Due numeri naturali consecutivi non hanno mai un fattore comune, tranne il fattore 1
.Chiamiamo "nd" la serie dei numeri naturali dispari.
Tre numeri naturali dispari consecutivi sono in generale:
2n + 1 , 2n + 3 , 2n + 5 . La prima cosa che possiamo affermare con sicurezza e che questi tre numeri non potranno essere divisibili per 2, e quindi per nessun numero pari.
Essi vanno inoltre di due in due. Questo significa che, nella serie nd , un numero divisibile per 3 si verificherà ogni 3 numeri (*), e che quindi essi non potranno mai essere tutti e tre divisibili per 3. Di conseguenza, nella serie nd , un numero divisibile per 5 si verificherà ogni 5 numeri (*), e quindi essi non potranno mai essere tutti e tre divisibili per 5, e cosi via. Quindi:
Tre numeri naturali dispari consecutivi non hanno mai un fattore comune, tranne il fattore 1
.*procedendo di due in due, essi saranno divisibili per un numero primo, ogni quante volte il numero primo stesso.
Ad esempio nella serie 13, 15, 17, il solo numero divisibile per 5 e 15. Un altro numero divisibile per 5 si verificherà 5 numeri dispari dopo (25).
Alessandra Covino 3° A